图与网络分析—R实现（一）

图与网络

一个网络G，也可以称为图（graph）或网络图，是一种包含了节点V（即网络参与者，也称顶点）与边E（即节点之间的连接关系）的数学结构，记作G={V,E}。可以使用一个矩阵来存放节点之间的连接关系，这个矩阵称为邻接矩阵。如果网络中两个节点之间的边是有方向的，即从节点u出发指向节点v，这就是一个有向网络（有向图），否则称为无向网络（无向图）。网络的边也可以赋予权重，称为加权网络。

一、R的igraph包

igraph包是一个用来解决图与网络问题以及对其进行可视化的包。igraph是一个“历史悠久”的开源项目，提供了一组简单易用且功能强大的网络分析工具，igraph有多种语言接口，包括了R\Python\C++等等。尽管（无论在R还是Python中）已经有了更多的网络分析和可视化工具，igraph依然是最好的出发点。
igraph包中创建图的对象的函数是

make_graph(edges, ..., n = max(edges), isolates = NULL,directed = TRUE,dir = directed, simplify = TRUE)
1.其中edges参数为边组成的向量，这个向量中的元素既可以是数字也可以是字符，也可以是literals参数（但不经常用）。比如如果是数字，c(1,2)表示一条从点1到点2的边，c(1,2,2,3)表示两条边，一条从1到2，另一条从2到3，注意图中的点的编号不能用0来命名，否则会报错，至于原因就不太清楚啦；字母的原理与数字相同
2.n为最大边数，只在edges参数中的元素是数字的时候有用，但我还是不太清楚这个参数的实质作用是什么，好像一般情况下用不到。
3.isolates为孤立的点组成的向量，但只有在edges参数中的元素是字符时才有用，比如make_graph(c('a','b','b','c'),isolates = c('d','e'))这个图有两条边ab,bc,还有两个孤立的点d和e.
4.directed为一个布尔型参数，TRUE表示有向图，FALSE表示无向图，dir参数与directed参数是一样的，但两者不能同时出现。
5.simplify参数只有在edges参数使用literals时才有用。

make_graph(edges, ..., n = max(edges), isolates = NULL,directed = TRUE,dir = directed, simplify = TRUE)
1其中edges参数为边组成的向量，这个向量中的元素既可以是数字也可以是字符，也可以是literals参数（但不经常用）。比如如果是数字，c(1,2)表示一条从点1到点2的边，c(1,2,2,3)表示两条边，一条从1到2，另一条从2到3，注意图中的点的编号不能用0来命名，否则会报错，至于原因就不太清楚啦；字母的原理与数字相同
2.n为最大边数，只在edges参数中的元素是数字的时候有用，但我还是不太清楚这个参数的实质作用是什么，好像一般情况下用不到。
3.isolates为孤立的点组成的向量，但只有在edges参数中的元素是字符时才有用，比如make_graph(c('a','b','b','c'),isolates = c('d','e'))这个图有两条边ab,bc,还有两个孤立的点d和e.
4.directed为一个布尔型参数，TRUE表示有向图，FALSE表示无向图，dir参数与directed参数是一样的，但两者不能同时出现。
5.simplify参数只有在edges参数使用literals时才有用。

二、图的数据结构

图是一组顶点：通常用V(Vertex)表示顶点集合；一组边：通常用E (Edge) 表示边的集合，边是顶点对：如（v, k) ∈E ，其中v, k ∈ V；有向图的边表示从v指向k的边（单行线），无向图的边是无向边(v, k)（双向线）；边的权：通常用W（Weight）表示权的集合，这三个集合构成的三元有序组就表示一个赋权图。简单图一般不考虑多重边和自回路，如下图所示。

library("igraph")
m <- matrix( c(1,2,6, 1,3,5, 1,4,4, 1,6,4, 3,6,4, 3,7,3, 4,7,3, 5,8,5, 6,8,4, 7,8,6) ,ncol = 3,byrow = T)
#创建一个无向图
g <- make_graph(t(m[,1:2]),directed = FALSE)
#创建一个有向图
h <- make_graph(t(m[,1:2]),directed = TRUE)
graph_attr(g,'weight') <- m[,3]    #加载权重
graph_attr(h,'weight') <- m[,3]    #加载权重
E(g)$weight=m[,3]
E(h)$weight=m[,3]
#也可以用第一个函数获得图的权
graph_attr(g,'weight')   #得到g的权
plot(g,edge.label = graph_attr(g,'weight'))   #图1
plot(h,edge.label = graph_attr(h,'weight'))   #图2

图1 无向图

图2 有向图

连通：如果从v到k存在一条（无向）路径，则称v和k是连通的。连通图(Connected Graph)：如果对于图的任一两个顶点v、k∈V，v和k都是连通的，则称该图为连通图。连通是图最重要的性质，表面我们所研究的对象图是一个有机整体。

2.1 图的邻接矩阵

邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设任意图$G=(V,E)$，其中顶点集$V=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，边集$E=\{e_1,e_2,...,e_t\}$ ，称矩阵 $$A(G)=[a_{ij}]_{n×n}$$ 为图G的邻接矩阵，其中

$$a_{ij}= \begin{cases} 1, & (v_i,v_j) \in E \\ 0, & 其他\end{cases}$$

G的邻接矩阵是一个的$n$阶方阵：
①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此。
②无向图的邻接矩阵一定是对称的，而有向图的邻接矩阵不一定对称。
无向网络的邻接矩阵（对称阵）
若节点$i$和节点$j$之间存在连接，则令矩阵中第$i$行第$j$列上的元素$a_{ij}=1$；若节点$i$和节点$j$之间不存在连接，则令矩阵元素$a_{ij}=0$。

有向矩阵的邻接矩阵（非对称阵）
若节点$i$和节点$j$之间存在有向连接，则令矩阵元素$a_{ij}=1$；若节点$i$和节点$j$之间不存在有向连接，则令矩阵元素$a_{ij}=0$。

图1的邻接矩阵为

get.adjacency(g)
[1,] . 1 1 1 . . . .
[2,] 1 . . . . 1 . .
[3,] 1 . . . . 1 1 .
[4,] 1 . . . . . 1 .
[5,] . . . . . . . 1
[6,] . 1 1 . . . . 1
[7,] . . 1 1 . . . 1
[8,] . . . . 1 1 1 .

图2的邻接矩阵为(!!!有向边默认以行为起点)

get.adjacency(h)
[1,] . 1 1 1 . . . .
[2,] . . . . . 1 . .
[3,] . . . . . 1 1 .
[4,] . . . . . . 1 .
[5,] . . . . . . . 1
[6,] . . . . . . . 1
[7,] . . . . . . . 1
[8,] . . . . . . . .

2.2 赋权图的加权邻接矩阵(Labeled Adjacency Matrix)

加权邻接矩阵是把图的顶点视为一个矩阵，其中的数字代表着顶点之间的权重。对于赋权图$G=(V,E,W）$，其边$(v_i,v_j)$的权重为$w_{ij}$，构造矩阵$A(G)=[a_{ij}]_{n×n}$，其中

$$a_{ij}= \begin{cases} w_{ij}, & (v_i,v_j) \in E \\ 0, & 其他\end{cases}$$

若节点$i$ 和节点$j$之间存在连接，则令矩阵中第$i$行第$j$列上的元素$a_{ij}=w_{ij}$；若节点$i$和节点$j$之间不存在连接，则令矩阵元素$a_{ij}=0$。可见，网络的邻接矩阵是加权网络的特例，是权重值只有1和0两个取值的加权邻接矩阵。

	A	B	C	D	E
A	0	2	0	0	2
B	0	0	4	4	0
C	0	0	0	6	0
D	0	0	0	0	8
E	0	10	0	0	0

图1的加权邻接矩阵

get.adjacency(g,attr = "weight",sparse = T)
[1,] . 6 5 4 . . . .
[2,] 6 . . . . 4 . .
[3,] 5 . . . . 4 3 .
[4,] 4 . . . . . 3 .
[5,] . . . . . . . 5
[6,] . 4 4 . . . . 4
[7,] . . 3 3 . . . 6
[8,] . . . . 5 4 6 .

加权邻接矩阵是一种用来表示网络节点之间的连接结构，以及不同用户的相似度的矩阵，它的作用不容小觑。在图论领域，加权邻接矩阵可以用来描述图的拓朴结构，也可以用来解决最短路径问题，在人工智能领域、金融工程领域甚至许多应用领域中还有十分广泛的应用。

2.3 图的边缘列表(Edge List)

边缘列表，也称边列表，图的储存结构之一。边缘列表（EL），是具有连接顶点及其权重的边的集合，因此其空间开销为E（边的数量）。

边索引	from	to
0	0	1
1	0	2
2	1	2
3	1	3
4	2	4
5	3	4
6	4	5
7	5	6

在上图中，共有8条边，因此列表的长度为8，在数据表示中，因为是无权重图，所以权重值并未体现出来，如顶点0，与顶点1和顶点2相连，可以看到EL[0]=(0,1) ，EL[1]=(0, 2)。为了提高查询的效率，我们已经对上方的数组使用排序函数先按照起点排序，再按照终点排序，这样完成后，相同的起点的边就是挨在一起的，相同起点的终点也是有顺序的，查询起来相对会快一些。

图1的边列表

get.data.frame(g)
  from to
1     1  2
2     1  3
3     1  4
4     2  6
5     3  6
6     3  7
7     4  7
8     5  8
9     6  8
10    7  8

参考文献

R语言igraph包的使用