【复习笔记】根号算法总结

由于我根号算法实在是太菜，所以有了这么篇不是很靠谱的总结= =
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莫队

理想莫队信息：维护一个子集的信息，支持\(O(a)\)插入一个元素，\(O( b )\)删除一个元素，无法比直接暴力更高效地合并
例如：给出一个点集，多次询问点集的一个子集的信息

普通莫队：考虑右端点O(n)变化过程中，左端点限制在一个根号块内，也就是每次移动不超过根号，总复杂度为\(O(nsqrt(m)+m)\)

一个卡常小trick：奇数块正着排，偶数块反着排常数小一半

由于莫队是对于值域暴力维护，而修改次数是\(O(nsqrt(m))\)，查询次数是\(O(m)\)，因此对于值域进行根号分治维护复杂度可以去掉线段树的log（log-log平衡此时不如1-sqrt平衡）

普通莫队常见题：小Z的袜子

二次离线莫队：将莫队当做是O( nsqrt(m) )次查询区间中满足特定特征的性质的数的某个信息
如果这个信息具有可减性，可以差分 考虑差分后变成O(nsqrt(m) )次查询前缀中满足特定特征的性质的数的某个信息 此时插入次数\(O(n)\)而查询次数\(O(nsqrt(m))\) 把插入的复杂度往上提，查询O(1)就可以做到更优秀的复杂度

树上莫队：

1.树上两条链的信息差分成两段到根的路径（四维降成二维）此时使用普通莫队即可

2.连通块直接分块

3.对括号序分块（此时可以处理子树信息或链信息 链信息需要特判LCA）

分块

静态分块：大部分针对在线处理，预处理时对于块信息\(O(n\sqrt{n})\)与块与块之间的信息\(O(n)\)预处理

常见用法：区间众数/逆序对

势能分块：一道很牛的题 [Ynoi2019] 美好的每一天~ 不连续的存在

定义势能\(f(i)\)表示\(1\text{~}i\)加入\(i\)的合并次数 因为启发式合并 所以总数是nlogn 所以按照\(f(i)\)加权分块 每增量\(\sqrt{nlog}\) 每个块暴力启发式合并

因为\([1,r]\)加入\(r+1\)的势能一定是大于\([l,r]\)加入\(r+1\)的势能的 因此复杂度正确

此时分块复杂度分析为\(O(FN+totF/F)\) 因此一个块内取\(\sqrt{totF}=\sqrt{nlog}\)

根号重构分块：比较常见的就是分块维护凸包之类的东西，如果边角块变化就重构，不然可以直接打tag快速处理答案（比如凸包就可以使用two pointer去掉log）

根号平衡

平凡根号平衡：\(\sum s_i =n\)此时不同的\(s_i\)不超过\(\sqrt n\)（度数/出现次数）

常见用法：光速幂/度数分块/数论分块/分块区间和等等