【复习笔记】Burnside引理和Polya定理

这玩意无论学了多少次都跟没学一样(╯°□°)╯︵ ┻━┻

定理

Burnside 引理

\[L= \frac{1}{|G|} \sum_k^G d_k \]

其中\(L\)表示本质不同染色数（轨道数） \(G\)是置换群 \(Z_k\)是轨迹 \(d_k\)是在置换k下的不动的染色种类

Polya定理

\[L = \frac{1}{|G|} \sum m^{c(g_k)} \]

其中\(m\)是颜色数 \(c(g_k)\)是置换\(g_k\)分解成不相交轮换数量

p.s.: \(\text{Polya定理只有在对所有映射计算的时候才成立 否则不一定成立}\)

我猜你现在一脸懵 我也懵 我还不想给证明

例题

LOJ6519 魔力环

Shone 喜欢收集黑色与白色的魔力珠。

Shone 希望能够得到一个由 \(n\)个魔力珠串成的环。不过他对普通的环并不感兴趣，因此他提出了如下的要求：

• Shone 希望在这个环上，恰好有 \(m\)个黑色的魔力珠与\(n-m\) 个白色的魔力珠。
• 由于 Shone 认为黑色魔力珠不应过于密集，因此 Shone 希望这个环上不会出现一段连续的黑色魔力珠，其长度超过 \(k\)。

在 Shone 的心目中，满足上述要求的环才是美妙的。

不过这样的环可能并不唯一。 Shone 想要知道共有多少种不同的环满足他所提出的要求。然而 Shone 并不喜欢计算，他希望聪明的你能够告诉他答案。

在这里，我们认为两个环是不同的，当且仅当其中一个环仅通过旋转无法得到另一个环。

\(1\le n\le 10^5,1\le k\le 10^5,0\le m \le n\)

思路：

这就是Polya不适合的题【狗头

\[ans = \frac{1}{n} \sum_{l|gcd(n,m)} f(\frac{n}{l})\phi(l) \]

考虑固定不动点一共有\(l\)个 那么一共是\(\frac{n}{l}\)组 也就是要求\(gcd(n,x)=n/l\) 这样的\(x\)有多少呢 就是\(\phi(\frac{n}{n/l})=\phi(l)\)

现在我们就要求\(f(x)\)也就是有 \(\frac{m}{x}\)个黑的和\(\frac{n-m}{x}\)个白的 构成环【不考虑循环同构】且没有连续\(k\)个以上黑的的方案数 直接拆环

\[f(x) = \sum_{j=0}^k (j+1) F(\frac{m}{x}-j,\frac{n-m}{x}-1) \]

\(F(x,y)\)表示x个黑的分成y组且没有大于k的方案数 容斥可以计算

\[F(x,y) = \sum_{i=0}^{i*(k+1)\le x,i\le y} (-1)^i \binom{x-i*(k+1)+y-1}{y-1}\binom{y}{i} \]

计算一个\(F(x,y)\)是\(O(x/k)\)的 计算一个\(f(x)\)是\(O(k)\) 所以复杂度是\(O(\sum x)\)也就是\(O(nlgn)\)【好像远远不到？

代码：戳我

bzoj1478 sgu282 Isomorphism/洛谷4128 [SHOI2006]有色图

给定一个$N $个结点的无向完全图（ 任意两个结点之间有一条边）， 现在你可以用 \(M\) 种颜色对这个图的每条边进行染色，每条边必须染一种颜色。 若两个已染色的图，其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同， 就称这两个染色方案相同。 现在问你有多少种本质不同的染色方法，输出结果 \(mod P\)。$P \(是一个大于\)N $的质数。

\(1≤N≤53，1≤M≤1000\)

思路：

考虑对于点的置换 拆成循环 内部是\(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor\)组(a+b=x 的ab是一组) 两个循环之间是\(gcd(x,y)\)组 然后我们考虑直接拆分数枚举然后染色就可以了【Polya定理】

代码：戳我

洛谷4727 [HNOI2009] 图的同构

小雪现在专注于如何判断两个图是否同构，同时他还想知道两两互不同构的含\(N\)个点的图有多少种。众所周知含\(N\)个点的简单图最多有\(N*(N-1)/2\)条边，这样含\(N\)个点的图有\(2^{N*(N-1)/2}\)种可能的情况。显然这些图中有很多图是同构的，小雪想知道的便是：若同构的图算成一种，则有多少种不同的图。他把这个任务丢给了你，在他想出来之前快点解决吧！

思路：

考虑图的同构就是把完全图的边黑白染色 然后就和上个题一毛一样了

代码：戳我