【学习笔记】构造杜教筛

这篇基本上都是抄的迟帅的博客@Mys_C_K 希望他不要介意/kel

数论函数的狄利克雷卷积可转化为贝尔级数的卷积

定义$f$模$p$的贝尔级数为

$f_p(x)=\sum_{0\leq i} f(p^i)x^i$

其实就是把原来的指数移到现在的下标

写几个常见的贝尔级数
$$
e_p(x)=1\\1_p(x)=\sum_{i \geq 0} x^i =\frac{1}{1-x}\\id_p(x)=\sum_{i \geq 0} p^ix^i = \frac{1}{1-px}\\ \mu_p(x)=1-x\\ \mu^2_p(x)=1+x\\ (id \cdot \mu)_p(x)=1-px\\ \phi_p(x)= \sum_{i \geq 0} p^{i-1}(p-1)x^i = \frac{1-x}{1-px}\\ \lambda_p(x) = \sum_{i \geq 0} (-1)^ix^i =\frac{1}{1+x}
$$
具体的例子：

$\frac{1}{1-px}(1-px)=1 \rightarrow id * (\mu \cdot id) =e$

考虑求$\mu^2*(id \cdot \mu)$ 发现他卷上$id(x)$是$\mu^2$也就是现在如何求$\mu ^2$显然可以直接莫反

好惹 我发现我并不会杜教筛x

好惹 我又会杜教筛惹

杜教筛长这样

$\sum_{i=1}^n g(i) = S(n)$我们要求S

我们考虑这么做$ g(1)S(n) = \sum_{i=1}^n(f*g)(i) - \sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

我们只要找到能快速计算的$f*g$的前缀和于是递归下去求解就可以了