LOJ2320「清华集训 2017」生成树计数
由于菜鸡的我实在是没学会上升幂下降幂那一套理论，这里用的是完全普通多项式的做法。
要是有大佬愿意给我讲讲上升幂下降幂那一套东西，不胜感激orz！
首先可以想到prufer序列，如果不会的话可以左转百度。
我们把答案写成prufer序列的形式，这样的话他的贡献是固定的，其中$d_i$表示$i$的出现次数。
$ans = (n-2)! \prod_{i=1}^n \frac{a_i^{d_i+1}}{d_i!}$
把原来的柿子带进来
$ans = \sum_{\sum d_i = n-2} (n-2)! \sum_{i=1}^n a_i^{d_i+1} d_i^m\prod_{j=1}\frac{d_j^m}{d_j!}$
把相同的因数提出来
$ans =(n-2)! \prod_{i=1}^n a_i \sum_{\sum d_i = n-2} \sum_{i=1}^n a_i^{d_i} d_i^m\prod_{j=1}\frac{d_j^m}{d_j!}$
考虑后面的
$ans' = \sum_{\sum d_i = n-2} \sum_{i=1}^n a_i^{d_i} d_i^m\prod_{j=1}\frac{d_j^m}{d_j!}$
为了方便写成生成函数形式，把柿子化成这样
$ans' = \sum_{\sum d_i = n-2} \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{d_i} d_i^{2m}}{d_i!}\prod_{j=1,j\neq i}\frac{d_j^m}{d_j!} $
设
$A(x)=\sum_{i=0}^n \frac{i^{2m}}{i!} x^i$
$B(x)=\sum_{i=0}^n \frac{i^m}{i!} x^i$
把它们带进去
$ans '=\sum_{i=1}^n A(a_i) \prod_{j=1,j\neq i}^n B(a_j) \\ = \sum_{i=1}^n \frac{A}{B}(a_i) \prod_{j=1}^n B(a_j)$
对于$\prod B(a_i)$ 根据常见套路，写成$exp(\sum ln(B(a_i)))$ 当然$\frac{A}{B}$也是这么处理。
接下来我们就遇到了更常见的，求$\sum_{i=1}^{n} a_i^k$ 也就是求数列幂和。
这个东西可以戳这里：qwq （额 需要密码，如果你需要的话可以戳我QQ）
这里简略的说一下，就是我们有$F(x)=\sum(a_1^i+...+a_n^i)x^i$ 可以化成这样$F(x) = \sum (a_ix+...+a_i^nx^n)$ 进而写成这样$F(x) = \sum \frac{a_i}{1-a_ix}$
我们令$G(x) = \prod (1-a_ix)$ 所以有$F = -ln'(G)$
对于$G$来说，我们可以直接分治FFT，然后F就可以poly_ln来求
其余的就是写一个多项式全家桶就可以了。
啊，多项式真有趣。
//Love and Freedom. #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #define ll long long #define inf 20021225 #define mdn 998244353 #define G 3 #define N 400100 using namespace std; int read() { int s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return f*s; } int fac[N],inv[N]; int Inv(int x){return 1ll*inv[x]*fac[x-1]%mdn;} void upd(int &x,int y){x+=x+y>=mdn?y-mdn:y;} int ksm(int bs,int mi) { int ans=1; while(mi) { if(mi&1) ans=1ll*ans*bs%mdn; bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=1; } return ans; } int r[N]; int init(int n) { int l=0,lim=1; while(lim<n) lim<<=1,l++; for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); return lim; } void ntt(int *a,int lim,int f) { for(int i=0;i<lim;i++) if(r[i]>i) swap(a[r[i]],a[i]); for(int k=2,mid=1;k<=lim;k<<=1,mid<<=1) { int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k); if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2); for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1) for(int j=0;j<mid;j++,w=1ll*w*Wn%mdn) { int x=a[i+j],y=1ll*w*a[i+mid+j]%mdn; a[i+j]=(x+y)%mdn; a[i+mid+j]=(mdn+x-y)%mdn; } } if(f) for(int kinv=ksm(lim,mdn-2),i=0;i<lim;i++) a[i]=1ll*a[i]*kinv%mdn; } int poly_mul(int *a,int *b,int *c,int n) { int lim=init(n<<1); ntt(a,lim,0); ntt(b,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mdn; ntt(c,lim,1); return lim; } int tmp[N]; void poly_inv(int *a,int *ans,int n) { if(n==1){ans[0]=ksm(a[0],mdn-2); return;} int mid=n+1>>1; poly_inv(a,ans,mid); int lim=init(n<<1); for(int i=0;i<n;i++) tmp[i]=a[i]; for(int i=n;i<lim;i++) tmp[i]=0; ntt(tmp,lim,0); ntt(ans,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=(2ll-1ll*tmp[i]*ans[i]%mdn+mdn)*ans[i]%mdn; ntt(ans,lim,1); for(int i=n;i<lim;i++) ans[i]=0; } int tmp2[N]; void poly_ln(int *a,int *ans,int n) { poly_inv(a,tmp2,n); for(int i=0;i<n;i++) ans[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mdn; int lim=poly_mul(tmp2,ans,tmp2,n); tmp2[n-1]=0; for(int i=1;i<n;i++) ans[i]=1ll*tmp2[i-1]*Inv(i)%mdn,tmp2[i-1]=0; for(int i=n;i<lim;i++) ans[i]=tmp2[i]=0; ans[0]=0; } int tmp3[N],tmp4[N]; void poly_exp(int *a,int *ans,int n) { if(n==1){ans[0]=1; return;} int mid=n+1>>1; poly_exp(a,ans,mid); for(int i=0;i<(n<<1);i++) tmp2[i]=tmp3[i]=0; for(int i=0;i<n;i++) tmp4[i]=a[i]; poly_ln(ans,tmp3,n); int lim=init(n<<1); ntt(tmp3,lim,0); ntt(tmp4,lim,0); ntt(ans,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=1ll*(tmp4[i]-tmp3[i]+1+mdn)%mdn*ans[i]%mdn; ntt(ans,lim,1); for(int i=n;i<lim;i++) ans[i]=tmp4[i]=0; } int tmp5[N],tmp6[N]; void solve(int *a,int l,int r) { if(l==r) return; int mid=l+r>>1; solve(a,l,mid); solve(a,mid+1,r); int d=r-l+1; for(int i=l;i<=mid;i++) tmp5[i-l+1]=a[i]; for(int i=mid+1;i<=r;i++) tmp6[i-mid]=a[i]; tmp5[0]=tmp6[0]=1; int lim=poly_mul(tmp5,tmp6,tmp5,d); for(int i=0;i<d;i++) a[l+i]=tmp5[i+1]; for(int i=0;i<=lim;i++) tmp5[i]=tmp6[i]=0; } void prework(int n) { n++; fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn; inv[n]=ksm(fac[n],mdn-2); for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn; } int a[N],f[N],n,m,g[N],A[N],B[N],in[N],fr[N],ls[N]; int main() { n=read(),m=read(); prework(n); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),f[i]=(mdn-a[i])%mdn; solve(f,1,n); f[0]=1; poly_ln(f,g,n+1); for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=1ll*g[i+1]*(i+1)%mdn; for(int i=n;i;i--) f[i]=(-f[i-1]+mdn)%mdn; f[0]=n; for(int i=0;i<=n;i++) { A[i]=1ll*ksm(i+1,2*m)*inv[i]%mdn; B[i]=1ll*ksm(i+1,m)*inv[i]%mdn; } int lim=init(n<<1|1); poly_ln(B,g,n+1); poly_inv(B,in,n+1); for(int i=0;i<n;i++) g[i]=1ll*g[i]*f[i]%mdn; for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=in[i]=0; poly_exp(g,ls,n); for(int i=n;i<lim;i++) ls[i]=0; poly_mul(A,in,fr,n); for(int i=0;i<n;i++) fr[i]=1ll*fr[i]*f[i]%mdn; for(int i=n;i<lim;i++) fr[i]=0; poly_mul(fr,ls,f,n); int ans=fac[n-2]; for(int i=1;i<=n;i++) ans=1ll*ans*a[i]%mdn; ans=1ll*ans*f[n-2]%mdn; printf("%d\n",ans); return 0; }
