【学习笔记】虚树复习记（BZOJ2286 SDOI2011 消耗战）
想写战略游戏却想不起来虚树T^T
所以就有了这篇复习记QwQ
——简介！——
我们在处理树上问题的时候，dfs是一个常用手段，但是我们发现，如果一棵树上只有一部分关键点，每次dfs需要访问好多不是关键的点，就很浪费时间。所以虚树就被发明出来啦！看到一个非常好的解释，虚树就是通过简化树的形态来进行dfs从而加快效率。
他处理的问题中很多都是 这样的，其中k表示询问节点个数。
建出的虚树中包含所有的关键点 和一些非关键点连接关键点来维护原树中关键点的相对形态
说起来有一点玄学，所以我们直接来看怎么构造虚树的吧。
前缀芝士
1.DFS序
2.倍增
3.树形DP
——构造！——
首先，我们将询问的关键点按照原树中的DFS序排序。
我们用一个栈来辅助构造虚树。
记住这几句话：压栈不连边，弹栈必连边。栈中一条链，深度是递增。【我好会编口诀啊】
（是栈底到栈顶递增qwq）
接下来我们来讨论一下3种情况。（这里配合画图食用口味更佳！）
[x:当前要加入栈中的元素 y:栈顶的元素 lca:x,y的lca z:栈中栈顶下方的元素]
1. lca 为 y
说明x位于y子树内 直接把x压入栈内 表示x挂到位于y下方的链上。
2. lca 既不是 x 也不是 y
表示x,y分别存在于 lca 的两侧 分为两棵子树
这时候 我们发现对于y子树应该是需要构造完 我们才可以把x压入栈内 不然的话就不是一条链了
这时候我们继续讨论几种情况。
（1）dfn[z]>dfn[lca] 说明y和z之间不会再出现新的节点 直接弹栈连边。
（2）z==lca z就是lca 表示 y和z之间没有新的点 弹栈连边 并且退出循环。
（3）dfn[z]<dfn[lca] 说明lca应该是作为新建节点 并且将来要和x连边[还是位于一条链] 那么将y弹栈连边，退出循环
3. lca 为 x
这种情况不会存在，因为我们按照dfs序排序了，所以x一定不会是y的祖先。
还有一个很重要的地方！
我们建虚树的时候 只是使用了一些关键节点，所以复杂度是低于O(n)的 如果清空数组使用了memset就是O(n)然后就萎啦
所以一个小技巧就是自杀式遍历 或者存下使用的节点 删除即可
——例题——
直接建虚树 然后熟悉的树形dp
令f[i]表示 i子树内部的所有点和1断开的最小代价
如果i是关键点 那么f[i]=dis[i] (1-i路径上的最小值)
如果i不是关键点 那么 f[i]=min(dis[i],sum(f[v])) [v是i的儿子]
然后就可以做啦~
附代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mxn 2500100
using namespace std;
struct edge{int to,lt;ll v;}e[mxn<<1],p[mxn<<1];
int in[mxn],cnt,cnp,ip[mxn],stk[mxn];
int ff[mxn][20],dfn[mxn],tot;
ll f[mxn],dis[mxn];int n,m,dep[mxn];
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].to=y;e[cnt].lt=in[x];in[x]=cnt;
}
void app(int x,int y,ll v)
{
p[++cnp].to=y;p[cnp].lt=ip[x];p[cnp].v=v;ip[x]=cnp;
p[++cnp].to=x;p[cnp].lt=ip[y];p[cnp].v=v;ip[y]=cnp;
}
void dfs(int x)
{
dfn[x]=++tot;
for(int i=1;i<20;i++)
ff[x][i]=ff[ff[x][i-1]][i-1];
for(int i=ip[x];i;i=p[i].lt)
{
int y=p[i].to;if(dfn[y]) continue;
ff[y][0]=x;dis[y]=min(dis[x],p[i].v);
dep[y]=dep[x]+1;dfs(y);
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int len=dep[x]-dep[y];
for(int i=19;~i;i--) if(len&(1<<i)) x=ff[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=19;~i;i--)
if(ff[x][i]!=ff[y][i])
x=ff[x][i],y=ff[y][i];
return ff[x][0];
}
int poi[mxn];bool spc[mxn];
bool cmp(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y];}
void insert(int x)
{
if(!stk[0]){stk[++stk[0]]=x;return;}
int lca=LCA(stk[stk[0]],x);
if(lca!=stk[stk[0]])
while(stk[0]>1)
{
int z=stk[stk[0]-1];
if(dfn[z]>dfn[lca])
add(z,stk[stk[0]]),stk[0]--;
else if(z==lca)
{
add(z,stk[stk[0]]),stk[0]--;
break;
}
else if(dfn[z]<dfn[lca])
{
add(lca,stk[stk[0]]);
stk[stk[0]]=lca;break;
}
}
if(stk[stk[0]]!=x) stk[++stk[0]]=x;
}
void build(int q)
{
sort(poi+1,poi+q+1,cmp);
cnt=0;stk[stk[0]=1]=1;
for(int i=1;i<=q;i++)
//if(poi[i]==1) continue;
insert(poi[i]);
while(stk[0]>1)
add(stk[stk[0]-1],stk[stk[0]]),stk[0]--;
}
void dp(int x)
{
f[x]=100000000000ll;ll sum=0;
for(int &i=in[x];i;i=e[i].lt)
{
int y=e[i].to;
dp(y);sum+=f[y];
}
if(spc[x]) f[x]=dis[x];
else f[x]=min((ll)dis[x],sum);
spc[x]=0;
}
int main()
{
int x,y,q;ll v;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++) scanf("%d%d%lld",&x,&y,&v),app(x,y,v);
scanf("%d",&m);
memset(dis,48,sizeof(dis));
dep[1]=1;dfs(1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
for(int j=1;j<=q;j++)
{
scanf("%d",&x);
spc[x]=1;poi[j]=x;
}
build(q);dp(1);
printf("%lld\n",f[1]);
}
return 0;
}
