Boss掉落物品问题

原问题是这样的：

玩某游戏中，一个Boss死亡之后会随机掉落物品，一共有四种物品可能会掉落，Boss每次死亡之后都会掉落一种物品，四种物品掉落的概率完全相同。

现在需要收集其该Boss掉落的四件物品，完成某项任务。问：平均要杀死该Boss多少次才能凑满全部4个物品。

 

 

该问题实际上就是求boss掉落全部四个物品的数学期望，数学期望为值和概率之积的全和。

即

s=4*p(4) + 5*p(5) + … + n*p(n);

 

问题的关键就在于如何求解p(n);

 

很明显，p(n)的值为刚好在第n次杀死boss的时候掉落出最后一件物品，之前的n-1次都是掉落其他3种物品，这样才符合题意。

于是：  其中ps表示“挑出的3种物品在前n-1个事件发生时候的出现的可能排列数”，他必须满足1、三种物品必须全部出现；2、不能重复计算出现过的情况；

于是讨论这个子问题：前n-1个事件中，恰好出现三种物品的排列数

有三种可能：

1、全部是一种物品：   共3种排列

2、恰好由两种物品构成: 共 种

3、恰好有三种物品构成 :

 

第三种情况恰好就是我们子问题的解

 

所以：

 

 

然后利用分项错开计算。计算无穷小数列的值。

 

最后可得：期望值为8.33左右

 

 

 

附上代码：

 

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
//一个BOSS掉4个装备，每杀死次BOSS都只掉1个，
//4个装备掉的几率相等，问同一玩家要凑齐4个装备平均要杀多少次BOSS？

namespace Boss
{
    class Program
    {
        static Random rd = new Random();
        static bool test(int[] a)
        {
            for (int i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                if (a[i] != 1)
                    return true;
            }
            return false;
        }
        static int sim()
        {
            int[] a = {0,0,0,0};
            int i = 0;
            while (test(a))
            {
                a[rd.Next(0, 4)] = 1;
                i++;
            }
            return i;
        }
        static void boss1()
        {
            double sum = 0, summ = 0;
            int COUNT = 1000000;
            for (int j = 0; j < 10; j++)
            {
                for (int i = 0; i < COUNT; i++)
                {
                    sum += sim();
                }
                sum /= COUNT;
                summ += sum;
            }
            Console.WriteLine("平均结果是:{0};", summ / 10);
        }

     
        static void boss3()
        {
            double s1 = 27.0 / 64, s2 = 3.0 / 8, s3 = 3.0 / 64;
            double tmp=4*(s1-s2+s3),s=0;
            for(int i=5;tmp>0.00001;i++)
            {
                s += tmp;
                s1 = s1 * 3 / 4;
                s2 = s2 / 2;
                s3 = s3 / 4;
                tmp = i * (s1 - s2 + s3);
            }
            Console.WriteLine("计算和:{0}", s);
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("模拟输出：");
            boss1();
            Console.WriteLine("计算输出：");
            boss3();
        }
    }
}