数论-质数

质数

试除法求判断质数

​ 没什么好说的直接枚举即可，可以加个优化可以使复杂度$O(N) \rightarrow O(\sqrt{N}) $ 。学C语言的时候一直没懂，其实很简单，一个合数\(N\)的两个因数，一定是分布在 \(\sqrt{N}\) 的左右两侧的。如果小于 \(\sqrt{N}\) ，那结果就会小于 \(N\) , 如果大于 \(\sqrt{N}\) ，那结果就会大于 \(N\) 所以如果 \(N\) 是合数那么他一定能被小于 \(\sqrt{N}\) 的某个数被算出来。

bool is_prime(int x) {
	if (x == 1) return false; //不要忘记特判1
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

筛法求质数

朴素筛法（埃氏筛）\(O(N \log(\log(N))\)

const int N = 1000006;
bool st[N];
void get_prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++) {
        if (st[i]) continue;
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) 
            st[j] = true; 
    }
}

线性筛（欧拉筛）\(O(N)\)

有空再写。

分解质因数

1. 整数的唯一分解定理

   任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为质因数分解。如果 \({\displaystyle A\in \mathbb {N} ^{+}}\), 那么 \({\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}}\) 其中 \(p_i\) 是一个素数这种表示方法是唯一的。

2. 一个数的除了 \(1\) 之外最小的因数一定是质数

    void div(int x) {
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
            if (x % i == 0) {
                int s = 0;
                while (x % i == 0) x /= i, s ++;
                cout << i << ' ' << s << endl;  // 输出质数i和其阶数s
            }
        }
        if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;  // 如果最后剩1那么就除干净了，否则就最后剩一个。
        cout << endl;
    }
   

   对于上面的代码，因为是从小到大枚举，所以第一次碰到的因数一定是质因数。都一个质数除干净以后之后第一个碰到的也一定是质因数。

【问题描述】

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

【输入格式】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(i\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。

【输出格式】

对于每个正整数 \(a_i\)，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

【输入样例】

2

6

8

【输出样例】

2 1
3 1

2 3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void div(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        if (x % i == 0) {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --) {
        int x; cin >> x;
        div(x);
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}