数论-约数

因数，也称为约数（英语：Divisor）是一个常见的数学名词，用于描述自然数 $a$ 和自然数 $b$ 之间存在的整除关系，即 $b$可以被$a$ 整除。这里我们称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因数或因子。

试除法求约数#

​ 试除法的思路很简单和求质数一样，求一个数$n$的所有约束，可以枚举从 $1 \sim n$ 的所有数，把它记录下来。这里有一个优化，如果 $d|n$ 那么 $\frac{n}{d} | n$ ，所以约束也是成对出现的，只要枚举 $\frac{n} {d}$ 和 $d$ 之中较小的那个即可。只需要使 $d <= \frac{n} {d}$ 即只需要枚举到 $d <= \sqrt{n}$。

【问题描述】

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，对于每个整数 $a_i$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

【输入格式】

第一行包含整数 $n$。

接下来 $i$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

【输出格式】

输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个整数 $a_i$ 的所有约数。

【输入样例】

2

6

8

【输出样例】

1 2 3 6
1 2 4 8

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> div(int n) {
    vector<int> ans;
    
    for (int i = 1; i <= n / i; i ++) {
        if (n % i == 0) {
            ans.push_back(i);
            if (i != n / i) ans.push_back(n / i);  // 注意边界情况，有可能出现 n/i == i的情况导致重复加入数值
        }
    }    
    sort(ans.begin(), ans.end());
    
    return ans;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --) {
        int x; cin >> x;
        auto ans = div(x);
        for (auto t : ans) cout << t << ' ';
        cout << endl;
    }
    
    
    return 0;
}

约数的个数#

自然数 N 的因数个数以 $d(n)$ 表示。若 $N$ 唯一分解为

${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$,

则 ${\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}$

例如 $2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}$，则其正因数个数 $d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24$。

【问题描述】

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

【输入格式】

第一行包含整数 $n$。

接下来 $i$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

【输出格式】

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

【输入样例】

3

2

6

8

【输出样例】

12

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
map<int, int> p;

int main()
{
    int n, x;
    cin >> n;
    while (n --) {
        cin >> x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
            if (x % i == 0) {
                while (x % i == 0) x /= i, p[i] ++;
            }
        }
        if (x > 1) p[x] ++;
    }
    
    ll ans = 1;
    for (auto t : p) ans = ans * (t.second + 1) % mod; // define的时候mod不是整型，是double不能取模，const int mod = 1e9 + 7比较保险。
    cout << ans;
    
    return 0;
}

给定任意一个数$n$，求其约数的个数。上题相当于求 $96$ 的约数的个数。

约数之和#

自然数 $N$ 的正因数和，以因数函数 ${\displaystyle \sigma (N)}$表示。由质因数分解而得。

若 $N$ 唯一分解为 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$, 则 ${\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}$

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}$

例如${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$，则其正因数之和

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}$

【问题描述】

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

【输入格式】

第一行包含整数 $n$。

接下来 $i$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

【输出格式】

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

【输入样例】

3

2

6

8

【输出样例】

252

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    map<int, int> p;
    cin >> n;
    while (n --) {
        int x; cin >> x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
            if (x % i == 0) {
                while (x % i == 0) x /= i, p[i] ++;
            }
        }
        if (x > 1) p[x] ++;
    }
    
    ll ans = 1;
    for (auto t : p) {
        int a = t.first, b = t.second;
        ll k = 1;
        while (b --) k = (k * a + 1) % mod;
        ans = ans * k % mod;
    }
    
    cout << ans;
    
    return 0;
}

代码前半部分与之前几乎一样，后半部分很像秦九韶算法，主要是用于计算等比数列和。

例如 $1+3+3^2+3^3$ 可以写成 $3(3(3+1)+1)+1$ ，CPU计算加法比乘法快，可以算的快一点也可以采用快速幂计算等比数列前$n$项和

最大公约数#

求最大公约数一般采用欧几里得算法，欧几里得算法的核心其实是$gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)$下面进行证明

1. 对$a\ mod \ b$进行变换

   $$\begin{align*} a\ mod\ b &= a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\\ &=a - c\times b \end{align*}$$

2. 证明对于$a$和$b$的任意公约数$k$，都是$b$和$a\ mod\ b$的公约数
   是$b$的公约数，同时也是$a-c\times b$ 的公约数

3. 证明对于$b$和$a\ mod\ b$的任意公约数$m$，都是$a$和$b$的公约数

   即证明$m$是$a$的公约数，$m$可以整除$a\ mod\ b$，则$m$可以整除$a-c\times b$所以$m$可以整除$a$

综上所述，集合$cd(a, b)$等于集合$cd(b, a\ mod\ b)$，则$gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)$，该过程的实现如下

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

顺便一提，最小公倍数的求法$lcm(a, b) = \frac{a\times b} {gcd(a, b)}$

int lcm(a, b) {
	return a / gcd(a, b) * b; // 不要写成a*b/gcd(a, b)可能会溢出，先除会让数小一些
}