C++求最大公约数（欧几里得算法）

C++中求最大公约数主要采用欧几里得算法，欧几里得算法的核心其实是\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)下面进行证明

1. 对\(a\ mod \ b\)进行变换

   \[\begin{align*} a\ mod\ b &= a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\\ &=a - c\times b \end{align*} \]

2. 证明对于\(a\)和\(b\)的任意公约数\(k\)，都是\(b\)和\(a\ mod\ b\)的公约数
   是\(b\)的公约数，同时也是\(a-c\times b\) 的公约数

3. 证明对于\(b\)和\(a\ mod\ b\)的任意公约数\(m\)，都是\(a\)和\(b\)的公约数

   即证明\(m\)是\(a\)的公约数，\(m\)可以整除\(a\ mod\ b\)，则\(m\)可以整除\(a-c\times b\)所以\(m\)可以整除\(a\)

综上所述，集合\(cd(a, b)\)等于集合\(cd(b, a\ mod\ b)\)，则\(gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)\)，该过程的实现如下

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}