C++求最大公约数（欧几里得算法）

C++中求最大公约数主要采用欧几里得算法，欧几里得算法的核心其实是$gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)$下面进行证明

1. 对$a\ mod \ b$进行变换

   $$\begin{align*} a\ mod\ b &= a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\\ &=a - c\times b \end{align*}$$

2. 证明对于$a$和$b$的任意公约数$k$，都是$b$和$a\ mod\ b$的公约数
   是$b$的公约数，同时也是$a-c\times b$ 的公约数

3. 证明对于$b$和$a\ mod\ b$的任意公约数$m$，都是$a$和$b$的公约数

   即证明$m$是$a$的公约数，$m$可以整除$a\ mod\ b$，则$m$可以整除$a-c\times b$所以$m$可以整除$a$

综上所述，集合$cd(a, b)$等于集合$cd(b, a\ mod\ b)$，则$gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)$，该过程的实现如下

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}