偏微分方程的数值解法

偏微分方程的数值解法#

主要总结常见椭圆形、双曲型、抛物型偏微分方程的数值解法

椭圆偏微分方程#

拉普拉斯方程是最简单的椭圆微分方程

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

确定偏微分方程的边界条件主要采用固定边界条件： $u|_\Gamma = U_1(x, y)$ 即在边界 $\Gamma$ 上给定 $u$ 的值 $U_1(x, y)$

五点差分格式#

五点差分格式的形式为：

u_{i + 1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1} = 4 u_{i, j}

$u_{i +1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1} = 4u_{i, j}$

以 $u_{i, j}$ 为中心向其上下左右做差分，并用这些近似的代替 $u_{i, j}$

运用五点差分法可以求出下列边值问题

{\begin{cases} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0 \\ u (x_{1}, y) = g_{1} (x), u (x_{2}, y) = g_{2} (x) \\ u (x, y_{1}) = f_{1} (y), u (x, y_{2}) = f_{2} (y) \\ x_{1} \leq x \leq x_{2}, y_{1} \leq y \leq y_{2} \end{cases}

$\begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0\\ u(x_1, y) = g_1(x), u(x_2, y) = g_2(x)\\ u(x, y_1) = f_1(y), u(x, y_2) = f_2(y)\\ x_1 \le x \le x_2, y_1 \le y \le y_2\\ \end{cases}$

求解过程如下：

对求解区域进行分割：将 $x_{min} \le x \le x_{max}$ 范围内的的 $x$ 轴等分成 $NX$ 段，同理将 $y$ 轴等分成 $NY$ 段
将边界条件离散到格点上
用五点差分格式建立求解方程，求出各个格点的函数值

程序设计：

实现函数格式为u = peEllip5(nx, minx, maxx, ny, miny, maxy)

变量名	变量作用
`nx`	x方向上的节点数
`minx`	求解区间x的左端
`maxx`	求解区间x的右端
`ny`	y方向的节点数
`miny`	求解区间y的左端
`maxy`	求解区间y的右端
`u`	求解区间上的数值解