贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR)

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排序推荐算法大体上可以分为三类，第一类排序算法类别是点对方法(Pointwise Approach)，这类算法将排序问题被转化为分类、回归之类的问题，并使用现有分类、回归等方法进行实现。第二类排序算法是成对方法(Pairwise Approach)，在序列方法中，排序被转化为对序列分类或对序列回归。所谓的pair就是成对的排序，比如(a,b)一组表明a比b排的靠前。第三类排序算法是列表方法(Listwise Approach)，它采用更加直接的方法对排序问题进行了处理。它在学习和预测过程中都将排序列表作为一个样本。排序的组结构被保持。

之前我们介绍的算法大都是Pointwise的方法，今天我们来介绍一种Pairwise的方法：贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR)

 

1.BPR算法简介

1.1基本思路

在BPR算法中，我们将任意用户u对应的物品进行标记，如果用户u在同时有物品i和j的时候点击了i，那么我们就得到了一个三元组<u,i,j>，它表示对用户u来说，i的排序要比j靠前。如果对于用户u来说我们有m组这样的反馈，那么我们就可以得到m组用户u对应的训练样本。

这里，我们做出两个假设：

1. 每个用户之间的偏好行为相互独立，即用户u在商品i和j之间的偏好和其他用户无关。
2. 同一用户对不同物品的偏序相互独立，也就是用户u在商品i和j之间的偏好和其他的商品无关。

为了便于表述，我们用>u符号表示用户u的偏好，上面的<u,i,j>可以表示为：i >u j。

在BPR中，我们也用到了类似矩阵分解的思想，对于用户集U和物品集I对应的U*I的预测排序矩阵，我们期望得到两个分解后的用户矩阵W(|U|×k)和物品矩阵H(|I|×k)，满足：

                                                                  

 

那么对于任意一个用户u，对应的任意一个物品i，我们预测得出的用户对该物品的偏好计算如下：

                                           

 

而模型的最终目标是寻找合适的矩阵W和H，让X-(公式打不出来，这里代表的是X上面有一个横线，即W和H矩阵相乘后的结果)和X(实际的评分矩阵)最相似。看到这里，也许你会说，BPR和矩阵分解没有什区别呀？是的，到目前为止的基本思想是一致的，但是具体的算法运算思路，确实千差万别的，我们慢慢道来。

1.2 算法运算思路

BPR基于最大后验估计P(W,H|>u)来求解模型参数W,H,这里我们用θ来表示参数W和H, >u代表用户u对应的所有商品的全序关系,则优化目标是P(θ|>u)。根据贝叶斯公式，我们有：

 

                                                     

 

由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关，那么对于任意一个用户u来说，P(>u)对所有的物品一样，所以有

                                                     

这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集D有关，第二部分和样本数据集D无关。

第一部分：

　对于第一部分，由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立，同一用户对不同物品的偏序相互独立，所以有：

                         

 

上面的式子类似于极大似然估计，若用户u相比于j来说更偏向i，那么我们就希望P(i >u j|θ)出现的概率越大越好。

上面的式子可以进一步改写成：

 

                                                   

而对于P(i >u j|θ)这个概率，我们可以使用下面这个式子来代替:

 

 

 

                                                    

 

其中，σ(x)是sigmoid函数，σ里面的项我们可以理解为用户u对i和j偏好程度的差异，我们当然希望i和j的差异越大越好，这种差异如何体现，最简单的就是差值：

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　 

 

省略θ我们可以将式子简略的写为：

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

因此优化目标的第一项可以写作：

                                                                             

 

哇，是不是很简单的思想，对于训练数据中的<u,i,j>，用户更偏好于i，那么我们当然希望在X-矩阵中ui对应的值比uj对应的值大，而且差距越大越好

 

 第二部分：

当θ的先验分布是正态分布时，其实就是给损失函数加入了正则项，因此我们可以假定θ的先验分布是正态分布：

 

                                                                                  

所以：

 

                                                                                   

因此，最终的最大对数后验估计函数可以写作：

 

剩下的我们就可以通过梯度上升法(因为是要让上式最大化)来求解了。

1.3 BPR算法流程

下面简要总结下BPR的算法训练流程：　　

　　　　输入：训练集D三元组，梯度步长αα， 正则化参数λλ,分解矩阵维度k。　　　　　　　　　　

　　　　输出：模型参数，矩阵W,HW,H

　　　　1. 随机初始化矩阵W,HW,H

　　　　2. 迭代更新模型参数：

                                                

 　　　　3. 如果W,HW,H收敛，则算法结束，输出W,H，否则回到步骤2.

　　　　当我们拿到W,HW,H后，就可以计算出每一个用户u对应的任意一个商品的排序分： 最终选择排序分最高的若干商品输出。