CF1174E Ehab and the Expected GCD Problem

Ehab and the Expected GCD Problem

Luogu CF1174E

题目描述

$p$ 是一个排列，定义 $f(p)$ ： 设 $g_i$ 为 $p_1,p_2,\cdots ,p_i$ 的最大公因数（即前缀最大公因数），则 $f(p)$ 为 $g_1,g_2,\cdots ,g_n$ 中不同的数的个数。

设 $f_{max}(n)$ 为 $1,2,\cdots ,n$ 的所有排列 $p$ 中 $f(p)$ 的最大值，你需要求有多少 $1,2,\cdots ,n$ 的排列 $p$ 满足 $f(p)=f_{max}(n)$，答案对 ${10}^9+7$ 取模。

Solution

考虑第一个数为 $x$，那么为了使得不同的数的个数最多，将 $x$ 进行质因数分解，每次一定只能将指数 $-1$，否则一定不优。为了使得减的次数最多，那么 $x$ 一定是由 $2^a\times 3^b(b\in \{0,1\})$ 构成，因为如果出现 $5$ 或 $3^2$ 都可以变成 $2^2$。

考虑 DP 这一个前缀 $gcd$。设 $f(i,j,k)$ 表示当前在位置 $i$，前缀 $gcd$ 为 $2^j\times 3^k$ 的方案数。记 $g(x)=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$ 表示 $n$ 以内 $x$ 的倍数的个数。那么有转移：

• $gcd$ 不变，那么 $f(i,j,k)\leftarrow f(i-1,j,k)\cdot (g(2^j\times 3^k)-(i-1))$。
• $gcd$ 中 $2$ 的指数 $-1$，那么 $f(i,j,k)\leftarrow f(i-1,j+1,k)\cdot (g(2^j\times 3^k)-g(2^{j+1}\times 3^k))$。
• $gcd$ 中 $3$ 的指数 $-1$，那么 $f(i,j,k)\leftarrow f(i-1,j,k+1)\cdot (g(2^j\times 3^k)-g(2^j\times 3^{k+1}))$。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。

Code

int N, lst = 0, cur = 1;
mint f[2][21][2];
signed main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin >> N;
    int lg = __lg(N);
    f[cur][lg][0] = 1;
    if ((1 << (lg - 1)) * 3 <= N)
        f[cur][lg-1][1] = 1;
    For(i, 2, N) {
        swap(cur, lst);
        For(j, 0, lg) f[cur][j][0] = f[cur][j][1] = 0;
        For(j, 0, lg) {
            f[cur][j][0] += f[lst][j][0] * (N / (1 << j) - i + 1);
            f[cur][j][0] += f[lst][j+1][0] * (N / (1 << j) - N / (1 << (j + 1)));
            f[cur][j][0] += f[lst][j][1] * (N / (1 << j) - N / ((1 << j) * 3));
            f[cur][j][1] += f[lst][j][1] * (N / ((1 << j) * 3) - i + 1);
            f[cur][j][1] += f[lst][j+1][1] * (N / ((1 << j) * 3) - N / ((1 << (j + 1)) * 3));
        }
    }
    cout << f[cur][0][0] << '\n';
}