CF1679E Typical Party in Dorm

Typical Party in Dorm

Luogu CF1679E

题面描述

给定一个长度为 $n(n\le 1000)$ ，仅由前 $17$ 个英文小写字母和问号组成的字符串 $s$。多次询问，每次给出一个由前 $17$ 个英文小写字母组成的字符集 $A$ ，你可以将 $s$ 中的问号任意替换成 $A$ 中的字母，求你能得到多少个不同的回文子串（两个子串不同，当且仅当起始位置，长度，两个子串的内容至少一个不同）。

Solution

注意到字符集大小 $|\mathrm{\Sigma }|$ 是 $17$，很特殊，因此考虑预处理一个字符集所有的答案。

暴力枚举串的回文中心，这里仅讨论长度为奇数的情况，偶数同理。

不难发现，当确定了一个区间过后，字符集中需要含有的字符状态是确定的，所以只需要关心不在这个区间内的问号会对答案产生什么贡献。

设总共的问号个数为 $\mathrm{tot}$，当前的区间内的确定的问号个数为 $\mathrm{cnt}$，当前区间确定必须加入字符集的元素为 $S$，那么考虑扩展左右边界：

• 两侧均不为问号，且两个字符不同。此时直接退出即可。
• 两侧均为问号，此时只需要确定一个问号另一个问号也随之确定，因此只需要 $\mathrm{cnt}$ 加 $1$。
• 一侧为问号，一侧为字符，此时问号确定，将 $\mathrm{cnt}$ 加 $1$，并将这个字符加入到 $S$ 中。

考虑如何统计贡献。显然确定的问号不会对答案产生贡献，而未确定的问号每个都会对答案产生 $|\mathrm{\Sigma }|$ 的贡献。发现最后答案与 $|\mathrm{\Sigma }|$ 相关，因此设 $f(S,i)$ 表示当前确定的字符集为 $S$，最后的字符集大小为 $i$。那么每次扩展边界都会对 $f(S,k\in [1,|\mathrm{\Sigma }|])$ 带来 $k^{\mathrm{tot}-\mathrm{cnt}}$ 的贡献。

注意到 $f(S,k)$ 会对所有 $S\subseteq T$ 的 $f(T,k)$ 产生贡献，因此最后对每个 $f(S,k)$ 做一个子集卷积即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2|\mathrm{\Sigma }|+|\mathrm{\Sigma }{|}^2{2}^{|\mathrm{\Sigma }|})$。

Code

int N;
char str[_N];
mint f[_M][20];
void init() {
    int tot = 0;
    For(i, 1, N) tot += str[i] == '?';
    For(i, 1, N) {
        auto solve = [&tot](int l, int r) -> void {
            int cnt = tot, sta = 0;
            while (l >= 1 && r <= N) {
                if (str[l] != '?' && str[r] != '?' && str[l] != str[r]) break;
                if (str[l] != '?' && str[r] == '?') sta |= 1 << (str[l] - 'a');
                if (str[l] == '?' && str[r] != '?') sta |= 1 << (str[r] - 'a');
                if (l != r && (str[l] == '?' || str[r] == '?')) --cnt;
                For(j, 1, 17) f[sta][j] += mint(j).pow(cnt);
                --l, ++r;
            }
        };
        solve(i, i), solve(i, i + 1);
    }
    int lim = 1 << 17;
    For(t, 1, 17) {
        for (int i = 1; i < lim; i <<= 1)
            for (int j = 0; j < lim; j += i << 1)
                For(k, 0, i - 1) f[j+k+i][t] += f[j+k][t];
    }
}
signed main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin >> N;
    For(i, 1, N) cin >> str[i];
    init();
    int Q; cin >> Q;
    while (Q--) {
        string s; cin >> s;
        int sta = 0;
        for (char c: s) sta |= 1 << (c - 'a');
        cout << f[sta][s.length()] << '\n';
    }
}