[Keyence2019] Paper Cutting

Paper Cutting

Luogu AT_keyence2019_f

题面翻译

有一个 $(H + 1) \times (W + 1)$ 的网格，网格中有 $H$ 条水平线和 $W$ 条竖直线。

你需要执行 $K$ 次操作，每次沿一条水平线或竖直线将网格切开。定义一次操作的权值为切割后网格被切分的块数。

定义一个操作序列的权值为 $K$ 次操作的权值和。

求所有操作序列的权值之和，答案对 $10^{9} + 7$ 取模。

其中 $1 \leq H, W \leq 10^{7}$ ， $1 \leq K \leq H + W$ ，且 $H, W, K$ 为整数。

Solution

考虑单次操作的贡献是什么，假设当前为第 $t$ 次操作。考虑第 $t$ 次操作为当前操作的操作序列个数，容易算出为：

t! (k - t)! (\binom{H + W - t}{K - t})

而这次操作的贡献为：

\sum_{i = 0}^{t} (\binom{H}{i}) (\binom{W}{t - i}) (i + 1) (t - i + 1)

那么贡献即为：

t! (K - t)! (\binom{H + W - t}{K - t}) \sum_{i = 0}^{t} (\binom{H}{i}) (\binom{W}{t - i}) (i + 1) (t - i + 1)

序列个数不难 $O (n) - O (1)$ 计算，而贡献为 $O (n)$ 计算，考虑优化。

化式子：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{t} (\binom{H}{i}) (\binom{W}{t - i}) (i + 1) (t - i + 1) \\ = & (t + 1) (\sum_{i = 0}^{t} (\binom{H}{i}) (\binom{W}{t - i})) + i (t - i) (\sum_{i = 0}^{t} (\binom{H}{i}) (\binom{W}{t - i})) \end{aligned}

前半部分直接使用范德蒙德卷积，后半部分拆一下组合数：

\begin{aligned} = & (t + 1) (\binom{H + W}{t}) + \sum_{i = 0}^{t} \frac{H! W!}{(i - 1)! (H - i)! (t - i - 1)! (W - t + 1)!} \\ = & (t + 1) (\binom{H + W}{t}) + \sum_{i = 0}^{t} \frac{H W (H - 1)! (W - 1)!}{(i - 1)! (H - i)! (t - i - 1)! (W - t + 1)!} \\ = & (t + 1) (\binom{H + W}{t}) + H W \sum_{i = 0}^{t} (\binom{H - 1}{i - 1}) (\binom{W - 1}{t - i - 1}) \end{aligned}

同样使用范德蒙德卷积可以得到：

\begin{aligned} = & (t + 1) (\binom{H + W}{t}) + H W (\binom{H + W - 2}{t - 2}) \end{aligned}

显然可以 $O (n) - O (1)$ 计算。

时间复杂度 $O (n)$ 。

Code

int N, M, K;
mint fac[_N], ifac[_N];
void init(int n) {
    fac[0] = 1; For(i, 1, n) fac[i] = fac[i-1] * i;
    ifac[n] = 1 / fac[n]; Rof(i, n, 1) ifac[i-1] = ifac[i] * i;
}
mint binom(int x, int y) {
    if (x < y || y < 0) return 0;
    return fac[x] * ifac[y] * ifac[x-y];
}
void _() {
    cin >> N >> M >> K; init(N + M);
    mint ans = 0;
    For(k, 1, K) {
        mint tmp = fac[k] * fac[K - k] * binom(N + M - k, K - k);
        tmp *= (k + 1) * binom(N + M, k) + binom(N + M - 2, k - 2) * N * M;
        ans += tmp;
    }
    cout << ans << '\n';
}