牛客2022多校DAY10-K You are given a tree

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简要题意

给一棵带点权和边权的树，找到至多 \(k\) 个点权不同的点，使得它们之间路径覆盖的边权和最大。

\(n\le 5000,k\le 5\)。

Solution

考虑颜色数量不大的时候怎么暴力。显然可以直接状压 DP，压一下当前选择的颜色集合为 \(S\)，在子树 \(i\) 内的最大覆盖边权为 \(f(i,S)\)，转移的时候 \(\mathcal O(3^n)\) 枚举子集，可以做到 \(\mathcal O(n3^n)\) 的复杂度。

注意到 \(k\) 并不大，所以选择的颜色也只有很少，如果能让颜色数量也变得跟 \(k\) 一样少就行了，因此想到随机化。考虑将每个颜色随机映射到 \([1,k]\) 的一个数上，然后使用上面的做法。这种做法显然会出错，因此计算一下出错的概率：

原来的 \(k\) 个颜色在随机之后互不相同的概率为 \(\dfrac {k!}{k^k}\)，当 \(k=5\) 时大约是 \(0.038\)，那么错误率为 \(0.962\)，因此重复计算 \(200\) 次仍然出错的概率为 \(0.962^{200}\approx 0.0004\)，正确率大概是 \(0.9996\)，除非脸太黑，否则都可以过。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

namespace Hanx16qwq {
constexpr int _N = 5e3 + 5;
int n, k, a[_N], b[_N], col[_N];
struct EDGE{int nxt, to, l;} edge[_N << 1];
int tot, head[_N];
void AddEdge(int x, int y, int l) {
    edge[++tot] = {head[x], y, l};
    head[x] = tot;
}
int f[_N][64], temp[64], maxn, ans = INT_MIN;
void DfsForAns(int x, int fa) {
    f[x][0] = f[x][1 << col[x]] = 0;
    for (int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt) {
        int twd = edge[i].to;
        if (twd == fa) continue;
        DfsForAns(twd, x);
        memcpy(temp, f[x], sizeof f[x]);
        for (int s = 1; s < maxn; s++)
            for (int ss = s; ss; ss = (ss - 1) & s)
                if (ss != (maxn - 1))
                    f[x][s] = max(f[x][s], temp[s ^ ss] + f[twd][ss] + edge[i].l);
    }
    ans = max(ans, f[x][maxn - 1]);
}
mt19937 rnd(114514);
void main() {
    cin >> n >> k; maxn = 1 << k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1, u, v, l; i < n; i++) {
        cin >> u >> v >> l;
        AddEdge(u, v, l);
        AddEdge(v, u, l);
    }
    int Times = 200;
    while (Times--) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = rnd() % k;
        for (int i = 1; i <= n; i++) col[i] = b[a[i]];
        memset(f, 0xcf, sizeof f);
        DfsForAns(1, 0);
    }
    cout << ans << '\n';
}

}
signed main() {
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    Hanx16qwq::main();
    return 0;
}