CF1605E Array Equalizer

Array Equalizer

题面描述

Jeevan 有两个长度为 $n$ 的数组：$a$ 和 $b$。他有以下两种操作：

• 选择一个 $k$（$1\le k\le n$），对所有满足 $1\le i\le n$ 并且 $1\le i\times k\le n$ 的 $i$，令 $a_{ik}=a_{ik}+1$。
• 选择一个 $k$（$1\le k\le n$），对所有满足 $1\le i\le n$ 并且 $1\le i\times k\le n$ 的 $i$，令 $a_{ik}=a_{ik}-1$。

不幸的是，他忘记了 $b_1$，因此他会向你提问 $q$ 次，每次给出一个 $x$，表示：

• 如果 $b_1=x$，那么把 $a$ 变为 $b$ 至少需要几次操作？

$1\le n\le 2\cdot {10}^5,1\le a_i,b_i\le {10}^6,b_1=-1,1\le q\le 2\cdot {10}^5,1\le x_i\le {10}^6$

Solution

题目没有要求判断无解，那么先想如何构造一种通解。考虑枚举每次修改的起始位置（即每次修改的 $k$），容易发现调换每次修改的顺序不会使得答案发生变化，所以不妨从小到大枚举 $k$。如果当前修改的是 $k$，那么前 $k-1$ 个数一定已经修改完成了，否则之后的修改都无法操作到前面这 $k-1$ 个数。因此正确的贪心方法就是从小到大依次使得每个 $a_i=b_i$，直接暴力模拟的话就是 $\mathcal{O}(qn\log n)$。

令 $+1$ 操作的贡献为 $1$，$-1$ 操作的贡献为 $-1$，那么设 $f_i$ 表示 $a_i$ 修改到 $b_i$ 所用的修改次数，设 $c_i=a_i-b_i$，有：

$$f_i=c_i-\sum _{d\mid i\wedge d\ne i}{f}_d$$

因为每次修改影响的是 $c_1$，因此考虑将 $f$ 用 $c$ 表示。

移项得：

$$c_i=\sum _{d\mid i}{f}_d$$

用迪利克雷卷积来表示就是 $c=f\ast I$。那么对这个式子使用莫比乌斯反演得到 $f=c\ast \mu$，即：

$$f_i=\sum _{d\mid i}{c}_i\cdot \mu ({\displaystyle \frac{i}{d}})$$

将 $c_1$ 项提出，有：

$$f_i=(\sum _{d\mid i\wedge d\ne 1}{c}_i\cdot \mu ({\displaystyle \frac{i}{d}}))-c_1\cdot \mu (i)$$

答案显然是 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n|f_i|}$。

由于存在绝对值，因此考虑讨论 $f_i$ 的正负。令 $v_i={\displaystyle \sum _{d\mid i\wedge d\ne 1}{c}_i\cdot \mu ({\displaystyle \frac{i}{d}})}$，显然 $v_i$ 可以 $\mathcal{O}(n\log n)$ 预处理得出。那么按照 $\mu (i)$ 的三种取值进行分讨：

• 当 $\mu (i)=0$ 时，$f_i$ 与 $c_1$ 无关，可以预处理直接算出。
• 当 $\mu (i)=1$ 或 $\mu (i)=-1$ 时，将 $v_i$ 排序，那么所有 $f_i<0$ 的 $i$ 是一个前缀，$f_i\ge 0$ 的 $i$ 是一个后缀，因此直接二分找到分界点即可。

总时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n+q\log n)$。

Code

// Cirno is not baka!
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, a, b) for (int i = (a); i <= (int)(b); ++i)
#define Rof(i, a, b) for (int i = (a); i >= (int)(b); --i)
#define FILE(filename) { \
    freopen(#filename ".in", "r", stdin); \
    freopen(#filename ".out", "w", stdout); \
}
#define All(x) x.begin(), x.end()
#define rAll(x) x.rbegin(), x.rend()
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define i64 long long
#define mkp make_pair
#define int long long
#define epb emplace_back
#define pb push_back
using namespace std;

const int _N = 2e5 + 5, mod = 1e9 + 7, inf = 1e9;
template<typename T> void Max(T &x, T y) {x = max(x, y);}
template<typename T> void Min(T &x, T y) {x = min(x, y);}

namespace BakaCirno {
    int N, M, A[_N], B[_N];
    bitset<_N> flag;
    vector<int> prim;
    int mu[_N];
    void InitPrime(int n) {
        mu[1] = 1;
        For(i, 2, n) {
            if (!flag[i]) {
                prim.epb(i);
                mu[i] = -1;
            }
            for (int j : prim) {
                if (i * j > n) break;
                flag[i * j] = 1;
                if (i % j == 0) {mu[i * j] = 0; break;}
                mu[i * j] = -mu[i];
            }
        }
    }
    int val[_N];
    int t1[_N], tot1, t2[_N], tot2, sum3;
    int pre1[_N], pre2[_N], suf1[_N], suf2[_N];
    void Init() {
        InitPrime(N);
        For(i, 2, N) for (int j = i; j <= N; j += i)
            val[j] += mu[j / i] * (A[i] - B[i]);
        For(i, 2, N) {
            if (mu[i] == 0) sum3 += abs(val[i]);
            if (mu[i] == 1) t1[++tot1] = val[i];
            if (mu[i] == -1) t2[++tot2] = val[i];
        }
        sort(t1 + 1, t1 + tot1 + 1), sort(t2 + 1, t2 + tot2 + 1);
        For(i, 1, tot1) pre1[i] = pre1[i - 1] + t1[i];
        For(i, 1, tot2) pre2[i] = pre2[i - 1] + t2[i];
        Rof(i, tot1, 1) suf1[i] = suf1[i + 1] + t1[i];
        Rof(i, tot2, 1) suf2[i] = suf2[i + 1] + t2[i];
    }
    int Solve(int x) {
        int res = sum3 + abs(A[1] - x), L, R;
        L = 1, R = tot1;
        while (L <= R) {
            int mid = (L + R) >> 1;
            if (t1[mid] + A[1] - x >= 0) R = mid - 1;
            else L = mid + 1;
        }
        res += (x - A[1]) * R - pre1[R] + suf1[L] + (tot1 - L + 1) * (A[1] - x);
        L = 1, R = tot2;
        while (L <= R) {
            int mid = (L + R) >> 1;
            if (t2[mid] - A[1] + x >= 0) R = mid - 1;
            else L = mid + 1;
        }
        res += (A[1] - x) * R - pre2[R] + suf2[L] - (tot2 - L + 1) * (A[1] - x);
        return res;
    }
    void _() {
        cin >> N;
        For(i, 1, N) cin >> A[i];
        For(i, 1, N) cin >> B[i];
        Init();
        cin >> M;
        For(i, 1, M) {
            int x; cin >> x;
            cout << Solve(x) << '\n';
        }
    }
}

signed main() {
    // FILE(test);
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0); int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--) BakaCirno::_();
    // fout.flush();
}