[HAOI2015] 按位或

[HAOI2015]按位或

Luogu P3175

题目描述

刚开始你有一个数字 $0$，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行或（C++,C 的 |，pascal 的 or）操作。选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$。保证 $0\le p_i\le 1$，$\sum p_i=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$。

输入格式

第一行输入 $n$ 表示 $n$ 个元素，第二行输入 $2^n$ 个数，第 $i$ 个数表示选到 $i-1$ 的概率。

输出格式

仅输出一个数表示答案，绝对误差或相对误差不超过 ${10}^{-6}$ 即可算通过。如果无解则要输出 INF。

样例 #1

样例输入 #1

2
0.25 0.25 0.25 0.25

样例输出 #1

2.6666666667

提示

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 20$。

Solution

设 $min\{S\}$ 表示 $S$ 中第一个变为 $1$ 的时间，$max\{S\}$ 表示 S 中最后一个变为 $1$ 的时间（$S$ 是一个二进制数）。那么有等式：

$$\begin{array}{}{\displaystyle max\{S\}=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}min\{T\}}\\ {\displaystyle min\{S\}=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}max\{T\}}\end{array}$$

这个等式也叫做 $min/max$ 容斥，并且这个等式在期望意义下也成立：

$$\begin{array}{}{\displaystyle E(max\{S\})=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(min\{T\})}\\ {\displaystyle E(min\{S\})=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(max\{T\})}\end{array}$$

此题要求的显然是 $E(max\{S\}),S=(2^n-1)$，并且数据范围允许枚举集合 $T$，那么考虑如何计算 $E(min\{T\})$。有式子：

$$E(min\{T\})={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \sum _{G\cap T\ne \varnothing }P(G)}}}$$

其中 $P(G)$ 表示出现的数是 $G$ 的概率。由于 $G\cap T\ne \varnothing$ 并不好计算，正难则反，令 $X={\complement }_{S}T$，即 $X=T\oplus S$，那么有 $\mathrm{\forall }G\cap T=\varnothing ,G\subseteq X$，那么不符合条件的 $G$ 就好计算了，处理一下 $X$ 的子集和即可，记 $X$ 的子集和为 $P^{\prime }(X)$，那么就有：

$$E(min\{T\})={\displaystyle \frac{1}{1-P^{\prime }(x)}}$$

对于 $X$ 的子集和，显然有 $P^{\prime }(X)={\displaystyle \sum _{X=Y\vee X}P(Y)}$，这个就是 FWT 的形式，直接用 FWT 处理即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n{2}^n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int _N = (1 << 20) + 5;
constexpr double eps = 1e-8;
int n, N; double P[_N], ans;
void FWTor(double *A) {
	for (int i = 1; i < N; i <<= 1)
		for (int j = 0; j < N; j += i << 1)
			for (int k = 0; k < i; ++k)
				A[i + j + k] += A[j + k];
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n; N = 1 << n;
	for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> P[i];
	FWTor(P);
	for (int i = 1; i < N; ++i) if ((1 - P[(N - 1) ^ i]) > eps)
		ans += ((__builtin_popcount(i) & 1) ? 1 : -1) / (1 - P[(N - 1) ^ i]);
	if (ans < eps) cout << "INF" << '\n';
	else cout << fixed << setprecision(10) << ans << '\n';
}