2-SAT 学习笔记

2-SAT 学习笔记

有一类生活中的问题：

一个人邀请了 A,B,C,D 四个人来他的 party，但是 A 和 B 有矛盾，所以他俩不会一起来，C 和 D 也有矛盾不会一起来，要求找到一种合适的方式来邀请他们，判断是否有这种方案，并且找出这种方案。

把这个问题抽象一下，有 $n$ 个 $\mathtt{\text{bool}}$ 变量，有 $m$ 组形似 $(a,fla{g}_a,b,fla{g}_b)$ 的条件，表示当 $a=fla{g}_a$ 时，$b\ne fla{g}_b$，或者当 $b=fla{g}_b$ 时，$a\ne fla{g}_a$，要求判断这些条件是否可行，如果可行，给出一种具体赋值方案。

如果把这个说法再简化一下，就是条件 $(A,B)$，满足 $A\wedge (\mathrm{\neg }B)=1$ 或 $(\mathrm{\neg }A)\wedge B=1$。

前置知识：强连通分量（本博客采用 Tarjan 算法）。

P4782 【模板】2-SAT 问题

题目描述

有 $n$ 个布尔变量 $x_1$$\sim$$x_n$，另有 $m$ 个需要满足的条件，每个条件的形式都是 「$x_i$ 为 true / false 或 $x_j$ 为 true / false」。比如 「$x_1$ 为真或 $x_3$ 为假」、「$x_7$ 为假或 $x_2$ 为假」。

2-SAT 问题的目标是给每个变量赋值使得所有条件得到满足。

输入格式

第一行两个整数 $n$ 和 $m$，意义如题面所述。

接下来 $m$ 行每行 $4$ 个整数 $i$, $a$, $j$, $b$，表示 「$x_i$ 为 $a$ 或 $x_j$ 为 $b$」($a,b\in \{0,1\}$)

输出格式

如无解，输出 IMPOSSIBLE；否则输出 POSSIBLE。

下一行 $n$ 个整数 $x_1\sim x_n$（$x_i\in \{0,1\}$），表示构造出的解。

样例 #1

样例输入 #1

3 1
1 1 3 0

样例输出 #1

POSSIBLE
0 0 0

提示

$1\le n,m\le {10}^6$ , 前 $3$ 个点卡小错误，后面 $5$ 个点卡效率。

由于数据随机生成，可能会含有（10 0 10 0）之类的坑，但按照最常规写法的写的标程没有出错，各个数据点卡什么的提示在标程里。

Solution

此题就是最显然的 $\mathtt{\text{2-SAT}}$ 问题（毕竟模板）。

尝试建图，将每一个条件建成一个点，比如有两个点 $A,B$，边 $A\to B$ 就表示当 $A$ 满足时，$B$ 也会满足。根据这样的建图方式，读入数据 $(A,B)$，就可以连两条边 $A\to (\mathrm{\neg }B)$ 和 $B\to (\mathrm{\neg }A)$。不难发现，在同一个强连通分量中的变量的值一定是相同的。换言之，如果 $A$ 与 $\mathrm{\neg }A$ 在同一个强连通分量中，就是无解的情况。到此为止，我们就会判定 $\mathtt{\text{2-SAT}}$ 的解的存在性问题了。

考虑怎么输出方案。不难发现，如果 $A$ 所在的强连通分量的拓扑序在 $\mathrm{\neg }A$ 的之前，就使 $A$ 为真就行了（可以理解为先到先得），这样就可以给出一组可行解。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
//#define int long long
using namespace std;
template<typename T> void read(T &k)
{
	k=0;T flag=1;char b=getchar();
	while (!isdigit(b)) {flag=(b=='-')?-1:1;b=getchar();}
	while (isdigit(b)) {k=k*10+b-48;b=getchar();}
	k*=flag;
}
template<typename T> void write(T k) {if (k<0) {putchar('-'),write(-k);return;}if (k>9) write(k/10);putchar(k%10+48);}
template<typename T> void writewith(T k,char c) {write(k);putchar(c);}
const int _SIZE=2e6;
int n,m;
struct EDGE{
	int nxt,to;
}edge[(_SIZE<<1)+5];
int tot,head[_SIZE+5];
void AddEdge(int x,int y) {edge[++tot]=(EDGE){head[x],y};head[x]=tot;}
int dfn[_SIZE+5],bl[_SIZE+5],low[_SIZE+5],cnt;
bool vis[_SIZE+5];
stack<int> s;
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	vis[x]=1,s.push(x);
	for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	{
		int twd=edge[i].to;
		if (!dfn[twd]) tarjan(twd),low[x]=min(low[x],low[twd]);
		else if (vis[twd]) low[x]=min(low[x],dfn[twd]);
	}
	if (low[x]==dfn[x])
	{
		int v;cnt++;
		do{
			v=s.top(),s.pop(),vis[v]=0;
			bl[v]=cnt;
		}while(v!=x);
	}
}
int Num(int x,int flag) {return x+flag*n;}//用于建图计算点，如果值为0则为x，值为1就为x+n
signed main()
{
	read(n),read(m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b,c,d;read(a),read(b),read(c),read(d);
		AddEdge(Num(a,b),Num(c,!d)),AddEdge(Num(c,d),Num(a,!b));
	}
	for (int i=1;i<=(n<<1);i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (bl[i]==bl[i+n]) return puts("IMPOSSIBLE")&0;
	puts("POSSIBLE");
	for (int i=1;i<=n;i++)
		writewith(bl[i]<bl[i+n],' ');
	return 0;
}