P2466 [SDOI2008] Sue 的小球

P2466 [SDOI2008] Sue 的小球

Luogu P2466

题目描述

Sue 和 Sandy 最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue 有一支轻便小巧的小船。然而，Sue 的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue 有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue 要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响 Sue 的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue 希望收集到所有的彩蛋。

然而 Sandy 就没有 Sue 那么浪漫了，Sandy 希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：

将大海近似的看做 $x$ 轴，以 Sue 所在的初始位置作为坐标原点建立一个竖直的平面直角坐标系。

一开始空中有 $N$ 个彩蛋，对于第 $i$ 个彩蛋，他的初始位置用整数坐标 $(x_i,y_i)$ 表示，游戏开始后，它匀速沿 $y$ 轴负方向下落,速度为 $v_i$ 单位距离/单位时间。Sue 的初始位置为 $(x_0,0)$，Sue 可以沿 $x$ 轴的正方向或负方向移动，Sue 的移动速度是 $1$ 单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的 $y$ 坐标的千分之一。

现在，Sue 和 Sandy 请你来帮忙，为了满足 Sue 和 Sandy 各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

输入格式

第一行为两个整数 $N$, $x_0$ 用一个空格分隔，表示彩蛋个数与 Sue 的初始位置。

第二行为 $N$ 个整数 $x_i$，每两个数用一个空格分隔，第 $i$ 个数表示第 $i$ 个彩蛋的初始横坐标。

第三行为 $N$ 个整数 $y_i$，每两个数用一个空格分隔，第 $i$ 个数表示第 $i$ 个彩蛋的初始纵坐标。

第四行为 $N$ 个整数 $v_i$，每两个数用一个空格分隔，第 $i$ 个数表示第 $i$ 个彩蛋匀速沿 $y$ 轴负方向下落的的速度。

输出格式

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

样例 #1

样例输入 #1

3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8

样例输出 #1

0.000

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据， $N\le 20$。

对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据， $N\le 100$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$-{10}^4\le x_i,y_i,v_i\le {10}^4$，$N\le 1000$

Solution

首先需要知道的是，当经过一个彩蛋时肯定是会将彩蛋捡起来的，因为如果不捡，如果等之后再来捡的话这个彩蛋带来的贡献会减少，反而不如经过就直接捡起（这道题 $v_i$ 的数据范围应该为非负数，因为如果 $v_i$ 可以为负，那么可以一直等待彩蛋向上飘，这样的话最大值是无穷大，显然不应该出现）。

因为每个彩蛋在输入时是无序的，所以在处理前应该先把彩蛋按照 $x$ 为关键字进行排序，以保证收集的彩蛋是连续的。

考虑动态规划，设 $f[i][j]$ 为 $i\sim j$ 可以得到的最大分值，但是很快我们可以发现推不出转移方程，因为 $f[i][j]$ 的来源太多，并且因为时间流逝彩蛋下落带来的损失也是无法计算的，所以这种方法是行不通的。

换一个方向，将 $f[i][j]$ 设为 $i\sim j$ 损失的最小值，但也会发现，因为我们不知道此时的人在哪里，所以无法计算具体时间。

因为收集完 $i\sim j$ 彩蛋的一瞬间，人只可能在区间的最左端或者是最右端上，即区间的端点，因此我们可以设出新的状态转移方程。

设 $f[i][j]$ 表示 $i\sim j$ 彩蛋捡完后人在 $i$ 时损失的最小值， $g[i][j]$ 表示 $i\sim j$ 彩蛋捡完后人在 $j$ 时损失的最小值。考虑状态的来源，对于 $f[i][j]$，人只可能从 $i+1$ 移动一步到达 $i$ ，或者是从 $j$ 跨越整个区间到达 $i$ 。很容易发现，只有这两种来源是可以更新 $f[i][j]$ 的。据此，可以推导出对于 $f[i][j]$ 的状态转移方程：

$$\begin{gathered} f[i][j]=\text{min}\{f[i+1][j]+(Sum(1,i)+Sum(j+1,n))\times (x_{i+1}-x_i), \\ g[i+1][j]+(Sum(1,i)+Sum(j+1,n)\times (x_j-x_i))\} \end{gathered}$$

类似地，也可以推出 $g[i][j]$ 的状态转移方程。

根据这些信息，代码就很好写出来了。

需要注意的是，因为数据范围的原因， $f[i][j]$ 和 $g[i][j]$ 可能会爆 $\text{int}$ ，因此需要开 $\text{long long}$ 。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<limits.h>
#include<cmath>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
using namespace std;
template<typename T> void read(T &k)
{
 	k=0;
	T flag=1;char b=getchar();
	while (b<'0' || b>'9') {flag=(b=='-')?-1:1;b=getchar();}
	while (b>='0' && b<='9') {k=(k<<3)+(k<<1)+(b^48);b=getchar();}
	k*=flag;
}
const long long _SIZE=1e3;
struct BALL{
	long long x,y,v;
}ball[_SIZE+5];
bool cmp(BALL x,BALL y)
{
	return x.x<y.x;
}
long long n,sx;
long long f[_SIZE+5][_SIZE+5],g[_SIZE+5][_SIZE+5];
long long sum[_SIZE+5];
long long SumCount(long long l,long long r) {return sum[r]-sum[l-1];}
long long ans=0;
int main()
{
	mem(f,0x7f);
	mem(g,0x7f);
	read(n),read(sx);
	for (long long i=1;i<=n;i++) read(ball[i].x);
	for (long long i=1;i<=n;i++) {read(ball[i].y);ans+=ball[i].y;}
	for (long long i=1;i<=n;i++) read(ball[i].v);
	n++;ball[n].x=sx;
	sort(ball+1,ball+n+1,cmp);
	for (long long i=1;i<=n;i++) sum[i]=ball[i].v+sum[i-1];
	for (long long i=1;i<=n;i++) if (ball[i].x==sx) f[i][i]=g[i][i]=0;
	for (long long len=2;len<=n;len++)
	{
		for (long long i=1;i+len-1<=n;i++)
		{
			long long j=i+len-1;
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j]+(SumCount(1,i)+SumCount(j+1,n))*(ball[i+1].x-ball[i].x));
			f[i][j]=min(f[i][j],g[i+1][j]+(SumCount(1,i)+SumCount(j+1,n))*(ball[j].x-ball[i].x));
			g[i][j]=min(g[i][j],f[i][j-1]+(SumCount(1,i-1)+SumCount(j,n))*(ball[j].x-ball[i].x));
			g[i][j]=min(g[i][j],g[i][j-1]+(SumCount(1,i-1)+SumCount(j,n))*(ball[j].x-ball[j-1].x));
		}
	}
	printf("%.3lf\n",(double)(ans-min(g[1][n],f[1][n]))/1000);
	return 0;
}