#P2056. ABCD

#P2056. ABCD

题目描述

有 4 个长度为 N 的数组 a,b,c,d。现在需要你选择 N 个数构成数组 e，数组 e 满足 $a[i]\le e[i]\le b[i]$ 以及

$\sum _{i=1}^{n}e[i]\ast c[i]=0$

并且使得

$\sum _{i=1}^{N}e[i]\ast d[i]$

最大。

输入格式

输入文件共 N+1 行。

第 1 行包含 1 个正整数 N。

第 i+1 行包含 4 个整数 a[i]，b[i]，c[i]，d[i]。

输出格式

输出共 1 行，包含 1 个整数，表示所给出公式的最大值。输入数据保证一定有解。

样例

输入数据 1

5
-1 1 2 5
-2 2 1 2
0 1 1 3
-2 -1 3 10
-2 2 3 9

输出数据 1

2

输入数据 1

10
1 10 1 7
-10 10 2 0
-10 10 2 2
-10 10 2 0
1 10 1 0
-10 10 2 0
10 10 2 0
1 10 1 0
-10 10 2 0
1 10 1 0

输出数据 1

90

数据规模与约定

对于 20%的数据，$N\le 10；-2\le a[i]<b[i]\le 2$

对于 60%的数据，$N\le 50；-20\le a[i]<b[i]\le 20$

对于 100%的数据，$N\le 200；-25\le a[i]<b[i]\le 25,1\le c[i]\le 20;0\le d[i]\le 100000$

Solution

这道题可以看作一道多重背包的题，每个物品可以选 $a[i]\sim b[i]$ 件，重量为 $c[i]$ ，价值为 $d[i]$ ，最终要求总重量为 $0$ 即可。

可以最简单的多重背包暴力枚举，常数小一点时间可以卡过去，如果担心常数，单调队列优化即可。

如果不对 $a[i],b[i],c[i]$ 做特殊处理， $f$ 的第二维会出现负数，导致 $\text{RE}$ ，解决办法就是在更新答案的时候将第二维加上 $MAXN$ （此题 $MAXN=a_{min}\ast N=50000$），就可以使第二维全部为自然数而非负数，注意 $f$ 的大小应该开到 $MAXN\times 2$，因为第二维的大小在加上 $MAXN$ 前为 $[-MAXN,MAXN]$ 。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<limits.h>
#include<cmath>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
using namespace std;
template<typename T> void read(T &k)
{
 	k=0;
	T flag=1;char b=getchar();
	while (b<'0' || b>'9') {flag=(b=='-')?-1:1;b=getchar();}
	while (b>='0' && b<='9') {k=(k<<3)+(k<<1)+(b^48);b=getchar();}
	k*=flag;
}
const int _SIZE=2e2;
int n;
int a[_SIZE+5],b[_SIZE+5],c[_SIZE+5],d[_SIZE+5];
const int MAXN=5e4;
int f[_SIZE+5][(MAXN<<1)+5];
int main()
{
	read(n);
	for (int i=0;i<=n;i++)
		for (int j=0;j<=(MAXN<<1);j++)
			f[i][j]=-INT_MAX/3;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(a[i]);read(b[i]);
		read(c[i]);read(d[i]);
	}
	int l=0,r=(MAXN<<1);
	f[0][MAXN]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=l;j<=r;j++)
		{
			for (int k=a[i];k<=b[i];k++)
			{
				if (j-k*c[i]>=l && j-k*c[i]<=r)
					f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*d[i]);
			}
		}
	}
	//for (int j=MAXN-5;j<=MAXN+5;j++) printf("%d rm=%d\n",f[1][j],j-MAXN);puts("");
	printf("%d\n",f[n][MAXN]);
	return 0;
}