损失函数（Loss Function）解释

https://zhuanlan.zhihu.com/p/75074145

各个损失函数的导数

计算值： $y^{'}_{i}$

真实值： $y_{i}$

pytorch很多的loss 函数都有size_average和reduce两个布尔类型的参数，需要解释一下。因为一般损失函数都是直接计算 batch 的数据，因此返回的 loss 结果都是维度为(batch_size, ) 的向量。

如果 reduce = False，那么 size_average 参数失效，直接返回向量形式的 loss；
如果 reduce = True，那么 loss 返回的是标量

如果 size_average = True，返回 loss.mean();
如果 size_average = True，返回 loss.sum();

若把这两个参数设置成 False，这样子比较好理解原始的损失函数定义。

无论在机器学习还是深度领域中,损失函数都是一个非常重要的知识点。损失函数（Loss Function）是用来估量模型的预测值 f(x) 与真实值 y 的不一致程度。我们的目标就是最小化损失函数，让 f(x) 与 y 尽量接近。通常可以使用梯度下降算法寻找函数最小值。

关于梯度下降最直白的解释可以看我的这篇文章：

简单的梯度下降算法，你真的懂了吗？

损失函数有许多不同的类型，没有哪种损失函数适合所有的问题，需根据具体模型和问题进行选择。一般来说，损失函数大致可以分成两类：回归（Regression）和分类（Classification）。今天，红色石头将要总结回归问题中常用的 3 种损失函数，希望对你有所帮助。

回归模型中的三种损失函数包括：均方误差（Mean Square Error）、平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）、Huber Loss。

均方误差（Mean Square Error，MSE）

均方误差指的就是模型预测值 f(x) 与样本真实值 y 之间距离平方的平均值。其公式如下所示：

其中，yi 和 f(xi) 分别表示第 i 个样本的真实值和预测值，m 为样本个数。

为了简化讨论，忽略下标 i，m = 1，以 y-f(x) 为横坐标，MSE 为纵坐标，绘制其损失函数的图形：

MSE 曲线的特点是光滑连续、可导，便于使用梯度下降算法，是比较常用的一种损失函数。而且，MSE 随着误差的减小，梯度也在减小，这有利于函数的收敛，即使固定学习因子，函数也能较快取得最小值。

平方误差有个特性，就是当 yi 与 f(xi) 的差值大于 1 时，会增大其误差；当 yi 与 f(xi) 的差值小于 1 时，会减小其误差。这是由平方的特性决定的。也就是说， MSE 会对误差较大（>1）的情况给予更大的惩罚，对误差较小（<1）的情况给予更小的惩罚。从训练的角度来看，模型会更加偏向于惩罚较大的点，赋予其更大的权重。

如果样本中存在离群点，MSE 会给离群点赋予更高的权重，但是却是以牺牲其他正常数据点的预测效果为代价，这最终会降低模型的整体性能。我们来看一下使用 MSE 解决含有离群点的回归模型。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(1, 20, 40)
y = x + [np.random.choice(4) for _ in range(40)]
y[-5:] -= 8
X = np.vstack((np.ones_like(x),x))    # 引入常数项 1
m = X.shape[1]
# 参数初始化
W = np.zeros((1,2))

# 迭代训练 
num_iter = 20
lr = 0.01
J = []
for i in range(num_iter):
   y_pred = W.dot(X)
   loss = 1/(2*m) * np.sum((y-y_pred)**2)
   J.append(loss)
   W = W + lr * 1/m * (y-y_pred).dot(X.T)

# 作图
y1 = W[0,0] + W[0,1]*1
y2 = W[0,0] + W[0,1]*20
plt.scatter(x, y)
plt.plot([1,20],[y1,y2])
plt.show()

拟合结果如下图所示：

可见，使用 MSE 损失函数，受离群点的影响较大，虽然样本中只有 5 个离群点，但是拟合的直线还是比较偏向于离群点。这往往是我们不希望看到的。

平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）

平均绝对误差指的就是模型预测值 f(x) 与样本真实值 y 之间距离的平均值。其公式如下所示：

为了简化讨论，忽略下标 i，m = 1，以 y-f(x) 为横坐标，MAE 为纵坐标，绘制其损失函数的图形：

直观上来看，MAE 的曲线呈 V 字型，连续但在 y-f(x)=0 处不可导，计算机求解导数比较困难。而且 MAE 大部分情况下梯度都是相等的，这意味着即使对于小的损失值，其梯度也是大的。这不利于函数的收敛和模型的学习。

值得一提的是，MAE 相比 MSE 有个优点就是 MAE 对离群点不那么敏感，更有包容性。因为 MAE 计算的是误差 y-f(x) 的绝对值，无论是 y-f(x)>1 还是 y-f(x)<1，没有平方项的作用，惩罚力度都是一样的，所占权重一样。针对 MSE 中的例子，我们来使用 MAE 进行求解，看下拟合直线有什么不同。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x))    # 引入常数项 1
m = X.shape[1]
# 参数初始化
W = np.zeros((1,2))

# 迭代训练 
num_iter = 20
lr = 0.01
J = []
for i in range(num_iter):
   y_pred = W.dot(X)
   loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))
   J.append(loss)
   mask = (y-y_pred).copy()
   mask[y-y_pred > 0] = 1
   mask[mask <= 0] = -1
   W = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)

# 作图
y1 = W[0,0] + W[0,1]*1
y2 = W[0,0] + W[0,1]*20
plt.scatter(x, y)
plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('MAE')
plt.show()

注意上述代码中对 MAE 计算梯度的部分。

拟合结果如下图所示：

显然，使用 MAE 损失函数，受离群点的影响较小，拟合直线能够较好地表征正常数据的分布情况。这一点，MAE 要优于 MSE。二者的对比图如下：

选择 MSE 还是 MAE 呢？

实际应用中，我们应该选择 MSE 还是 MAE 呢？从计算机求解梯度的复杂度来说，MSE 要优于 MAE，而且梯度也是动态变化的，能较快准确达到收敛。但是从离群点角度来看，如果离群点是实际数据或重要数据，而且是应该被检测到的异常值，那么我们应该使用MSE。另一方面，离群点仅仅代表数据损坏或者错误采样，无须给予过多关注，那么我们应该选择MAE作为损失。

Huber Loss

既然 MSE 和 MAE 各有优点和缺点，那么有没有一种激活函数能同时消除二者的缺点，集合二者的优点呢？答案是有的。Huber Loss 就具备这样的优点，其公式如下：

Huber Loss 是对二者的综合，包含了一个超参数 δ。δ 值的大小决定了 Huber Loss 对 MSE 和 MAE 的侧重性，当 |y−f(x)| ≤ δ 时，变为 MSE；当 |y−f(x)| > δ 时，则变成类似于 MAE，因此 Huber Loss 同时具备了 MSE 和 MAE 的优点，减小了对离群点的敏感度问题，实现了处处可导的功能。

通常来说，超参数 δ 可以通过交叉验证选取最佳值。下面，分别取 δ = 0.1、δ = 10，绘制相应的 Huber Loss，如下图所示：

Huber Loss 在 |y−f(x)| > δ 时，梯度一直近似为 δ，能够保证模型以一个较快的速度更新参数。当 |y−f(x)| ≤ δ 时，梯度逐渐减小，能够保证模型更精确地得到全局最优值。因此，Huber Loss 同时具备了前两种损失函数的优点。

下面，我们用 Huber Loss 来解决同样的例子。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x))    # 引入常数项 1
m = X.shape[1]
# 参数初始化
W = np.zeros((1,2))

# 迭代训练 
num_iter = 20
lr = 0.01
delta = 2
J = []
for i in range(num_iter):
   y_pred = W.dot(X)
   loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))
   J.append(loss)
   mask = (y-y_pred).copy()
   mask[y-y_pred > delta] = delta
   mask[mask < -delta] = -delta
   W = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)

# 作图
y1 = W[0,0] + W[0,1]*1
y2 = W[0,0] + W[0,1]*20
plt.scatter(x, y)
plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('MAE')
plt.show()

注意上述代码中对 Huber Loss 计算梯度的部分。

拟合结果如下图所示：

可见，使用 Huber Loss 作为激活函数，对离群点仍然有很好的抗干扰性，这一点比 MSE 强。另外，我们把这三种损失函数对应的 Loss 随着迭代次数变化的趋势绘制出来：

MSE：

MAE：

Huber Loss：

对比发现，MSE 的 Loss 下降得最快，MAE 的 Loss 下降得最慢，Huber Loss 下降速度介于 MSE 和 MAE 之间。也就是说，Huber Loss 弥补了此例中 MAE 的 Loss 下降速度慢的问题，使得优化速度接近 MSE。

最后，我们把以上介绍的回归问题中的三种损失函数全部绘制在一张图上。

好了，以上就是红色石头对回归问题 3 种常用的损失函数包括：MSE、MAE、Huber Loss 的简单介绍和详细对比。这些简单的知识点你是否已经完全掌握了呢？

BCELoss、BCEWithLogitsLoss

2、BCELoss（二分类用的交叉熵损失函数）

用的时候需要在该层前面加上Sigmoid函数

因为只有正例和反例，且两者的概率和为 1，那么只需要预测一个概率就好了，可以简化成：

$loss(y^{'}_{i},y_{i})=-w_{i}[y_i *logy_{i}^{'} + (1−y_i)*log(1−y_{i}^{'})]$

$loss(y^{'}_{i},y_{i})=\sum_{i=0}^{k=1}(-y_i *logy_i -(1−y_i)*log(1−y_i))$

loss_fn = torch.nn.BCELoss(reduce=False, size_average=False)
input = Variable(torch.randn(3, 4))
target = Variable(torch.FloatTensor(3, 4).random_(2))
loss = loss_fn(F.sigmoid(input), target)
print(input); print(target); print(loss)

BCEWithLogitsLoss：

上面的 nn.BCELoss 需要手动加上一个 Sigmoid 层，这里是结合了两者，不需要加sigmoid层，就能得到BCELoss一样的结果。

loss_fn = torch.nn.BCELoss(reduce=False, size_average=False)
input = Variable(torch.randn(3, 4))
target = Variable(torch.FloatTensor(3, 4).random_(2))
loss = loss_fn(input, target)
print(input); print(target); print(loss)

CrossEntropyLoss（交叉熵损失函数）

$loss(y^{'}_{i},y_{i})=-\frac{1}{N}\sum_{1}^{N}\sum_{i=0}^{k}{y_{i} \cdot log(p_{i})}$

def prac_cross():
    # weight = torch.Tensor([1, 2, 1, 1, 10])
    loss_fn = torch.nn.CrossEntropyLoss(reduce=False, size_average=False)
    input = Variable(torch.randn(3, 5))  # (batch_size, C)
    target = Variable(torch.LongTensor(3).random_(5))
    loss = loss_fn(input, target)
    print(input)
    print(target)
    print(loss)
    print('---手算第一个---')
    import math
    exp = math.e
    sigma_exp_x = pow(exp, input[0][0]) + pow(exp, input[0][1]) + pow(exp, input[0][2]) + pow(exp, input[0][3]) + pow(exp, input[0][4])
    log_sigma_exp_x = math.log(sigma_exp_x)
    loss_1 = -input[0][2] + log_sigma_exp_x
    print('第一个样本的loss：', loss_1)

假设共有三个类别cat、dog、bird，那么一张cat的图片标签应该为 $(1,0,0)^{T}$ 。并且训练过程中，这张cat的图片经过网络后得到三个类别网络的输出分别为3、1、-3。那么经过softmax可以得到对应的概率值，如下图：