MVP 变换

思考一个问题，我们怎么样拍一张照片？

找一个好地方，搭好场景摆好 Pose（模型变换 model transformation）

找一个好的角度放照相机（视图变换 view transformation）

拍照！（投影变换 projection transformation）

图形学中的这三个变换简称 MVP 变换。

 

（1）视图变换

第一，我照相机放在哪。第二，我相机往哪看，第三，相机的旋转，即相机顶部朝向的方向向量。

有一个相对运动的概念，如果相机和物体是相对静止的，那么不管怎么运动，拍出来的都是不变的。

那么进一步思考，直接将相机放在一个永远固定的原点位置上，让场景中的所有物体进行运动。相机永远朝向 -z 方向上。

这是约定俗成的一件事，因为这样做可以让操作简化。

那么如何将相机从任意一种摆放，把它移动到原点位置上去？

写成矩阵形式如下：

将向量 e 变换到原点，做一个简单的平移就能实现；

但是将向量 g 变换到 -z 不好写，将向量 t 变换到 y 不好写，( g × t ) 变换到 x 也不好写。我们从反向思考，求逆变换

由左边的矩阵得到右边的矩阵的过程用到了旋转的特性，详细见图像的几何变换。

现在两个矩阵都求出来了，先做旋转再做平移，M_view 这个变换就叫做视图变换。相机要通过这种变换，到一个固定或约定俗成的位置上。其它所有物体也都需要跟着做这样一个变换。

（2）投影变换

投影有正交投影（Orthographic Projection）和透视投影（Perspective Projection）。由三维投影到二维。

正交投影可以看作平行光线的投影，或者相机放在无限远，更多的用于工程制图。透视投影则有一种近大远小的效果。

透视投影四棱锥中物体放置的那块区域叫做 frustum，将区域内的物体投影到近处的苹面上。

（2.1）正交投影

正交投影不管空间中的长方体原先是什么长宽高比，都把它映射成标准的立方体。左右、顶底、远近。

将这样一个变换写成数学的矩阵形式：

也很直观，先做一个平移，再做一个缩放。为什么是 2，因为 [-1, 1] 覆盖的范围是 2，然后除以原本覆盖的范围，比如远和近是 n - f 。

（2.2）透视投影

 

普通点转为齐次坐标点有如下的概念：

远平面有四个点，可以看成把他们挤到和近苹面同一个高度上。然后就可通过正交投影把他们投影到近苹面上去了。

在挤的过程中，近苹面上的点永远不变，近苹面和远平面的距离不会变，远平面的中心点也不会变。

任意一个点它会被如何挤压，通过相似三角形是清楚的。上面表示的是 y。x 是同样的道理。

经过挤压变换后得到的向量，因为齐次坐标的性质，将它乘上 z，得到的一定是同一个点。

针对一个点，它上下如何挤压，z 不知道。现在的情况是，我希望找出 ( x, y, z, 1 ) 左边乘上的那个矩阵，把它变成右边这样，有三个数我都已经知道了，那么我现在已经可以填上若干值了。

以上矩阵除了第三行，其他数值都可以求出来。把第三行求出来，就大功告成了。

用到上面的两点：近苹面所有点变换前后都不会发生变化；远平面所有点变换前后 z 也不会发生变化。

用近苹面上的点来代入，即 z = n，那么这时向量的第三个数为 n²。

且因为计算的是第三行，所以与 x 和 y 都没有关系，因此矩阵的第三行必然是 ( 0 0 A B ) 的形式，A、B为待求的未知数。

得到这一个性质还不够，还不足以求出这两个未知数。

还有一个点很关键，就是远平面的中心点，变换前后不变。

最后乘以 f 是因为 z = f，根据前面的公式要求向量的第四个值为 z 。

最后解出 A = n + f，B = - nf 。得到变换矩阵为：

最后再做一次正交投影，即可得到透视投影的结果：