状压DP入门详解+题目推荐
在动态规划的题型中，一般叫什么DP就是怎么DP，状压DP也不例外
所谓状态压缩，一般是通过用01串表示状态，充分利用二进制数的特性，简化计算难度。举个例子，在棋盘上摆放棋子的题目中，我们可以用1表示当前位置摆放棋子，用0表示当前位置不摆放棋子。
这样的话，就能够直接运用许多二进制运算的特性来实现对时间和空间的优化
例如：如果给你一个\(n*m\)的棋盘，让你放棋子，但是棋子两两不能相邻，求方案数
我们仅考虑暴力枚举每一行的情况，如果是普通用数组来存储，判断的时候对于相邻两行需要一个数一个数的看，不论是时间还是空间，都很难让人接受
但是如果用一个二进制数来存储每一行的情况，对于相邻两行，我们只需要进行一下与运算，如果有值，就说明不合法，这样不论是时间还是空间上，都进行了极大的优化
当然，这并不是说状压DP就是暴力枚举，这里只是举个例子来解释一下状压DP中的状态压缩这个过程
看完上面这些，还是不知道这是个什么东西，所以我们结合一道题目来演示一下，什么是状压DP
这是一道非常经典的状压例题，题意过于简单，我们不再赘述
我们首先考虑一下国王的特性：能够攻击到八个方向的棋子。也就是说，如果某个位置放置了棋子，它的九宫格内就不能再放置了。
我们可以将问题拆解，把九宫格看为三行，就可以分开考虑了
首先我们先考虑在当前行的棋子，只要一个棋子的左右没有相邻的棋子，那么就不冲突
再考虑上面那一行，只要一个棋子正上即左右侧上没有棋子则合法
最后再考虑一下下面那一行是否满足条件
那么我们只要枚举所有情况，再判断就可以了
显然，这样做复杂度实在太高了，9*9的棋盘计算到人类灭亡连枚举都枚举不完
看来我们需要把算法优化一下
我们考虑可不可以逐行枚举，先对每行的状态进行判断，在对上面一行和下面一行进行判断。我们会发现这样的做法是可行的，而且判断下一行是没有意义的，因为我们是逐行枚举，下一行还没枚举到有什么好枚举的。那么我们又会发现，这不是递推嘛。可是这样还是有点慢，怎么优化呢？
下面就是状压时刻了
我们可以在一开始将所有行内可行状态存储下来，由于可行状态远远小于总的状态数，这样可以大大优化我们的复杂度。如何判断这种状态是否没有冲突呢？用与运算就可以轻松判断。我们先预处理好第一行的情况，然后递推即可。
下面来看一下代码吧（内附详解）
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc getchar
#define maxn 10
#define maxm 105 //由于可行状态占比极小，所以行内的可行状态不到100
using namespace std;
inline ll read(){
ll a=0;int f=0;char p=gc();
while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
return f?-a:a;
}
int get(int x){ //求当前状态中1的数量
int sum=0;
while(x){
++sum;
x&=x-1; //初赛考了，你做对了吗
}
return sum;
}
int n,m,N,tot,s[maxm],w[maxm]; //s[i]表示第i种可行状态的具体摆放，w[i]表示第i种状态棋子的个数
ll ans,f[maxn][maxm][maxm]; //ans最终用来统计答案，f[i][j][l]表示第i行状态为第j种摆放l个棋子的方案数
int main(){
n=read();m=read();N=1<<n;
for(int i=0;i<N;++i){
if(i&i<<1)continue; //如果非零说明有相邻棋子，则不合法
s[++tot]=i;
w[tot]=get(i);
f[1][tot][w[tot]]=1; //第一行需要单独初始化
}
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=tot;++j)
for(int k=1;k<=tot;++k){
if(s[j]&s[k])continue; //三种与上一行有冲突的情况
if(s[j]&s[k]<<1)continue;
if(s[k]&s[j]<<1)continue;
for(int l=w[j];l<=m;++l) //这里非常重要！！l的取值影响到f数组的意义，l如果是从w[j]开始，那么f数组表示的是这一行及以前所有放l个棋子的方案数；如果l从w[j]+1开始，那么f数组表示的是到这一行正好有l个棋子的方案数，以前够了l个棋子的方案则没有被记录在这里面。这会影响到最后统计答案的，并且样例太水并不能看出来。这里一定要注意！！！
f[i][j][l]+=f[i-1][k][l-w[j]];
}
for(int i=1;i<=tot;++i) //统计答案就很简单了。不过如果是l是另一种写法还需要枚举1~n
ans+=f[n][i][m];
printf("%lld",ans);
return 0;
}
这就是状压DP，你是否理解了呢？不妨自己打一遍代码，能够加深理解哦。
例题
染色（一道我认为可用四进制状压解决的题目，如果有神仙成功了，希望能够告诉我一声，以证明我没口胡错）
茫茫人海相遇也算缘分，点个推荐好不好\(QwQ\)
