矩阵运算初级
话说我的markdown矩阵竟然炸了，只好换图片了，真是不爽
嗯，这玩意看着很难对吧，之前我还是这样想的。。直到看到了斐波那契公约数这道题
这道题一看我这种辣鸡就不会做啊，然后rqy告诉我这是傻逼题啊，我忽然就想起了以前听说过的矩阵乘。。然后懒惰的DDOSvoid大佬告诉我要做这道题，得先做斐波那契数列,要做斐波那契数列，得先做矩阵加速,要做矩阵加速，得先做矩阵快速幂。。于是，一个上午就这么过去了
回归正题
定义
什么是矩阵运算呢？
在理解这个问题前，我们先要知道什么是矩阵
百度百科给的定义如下
矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合
复数实数什么的我们先不管，总之，矩阵就是一堆数，按照矩形排列形成的集合
那么，我们所需要记录的也就是它的长、宽以及矩阵中存储的元素
特殊的，长宽相等的矩阵我们定义它为方阵
当两个矩阵的长宽相等时，我们认为这两个矩阵为同型矩形
若矩阵为方阵，且对角线上的元素为1，其余均为0，则我们定义它为单位矩形，一个矩形与单位矩形相乘仍为原矩形
基本运算
矩阵的运算我们可以类比实数的运算来理解
在实数运算中，一般由进行运算的实数和运算符组成，运算符决定了运算类型
那么同样的，矩阵运算也是如此
加法运算
首先，我们来看加法运算
两个矩阵进行一般的加法运算的前提是两个矩阵为同型矩阵
我们只需要将对应位置的元素相加即可，如下图
在矩阵的加法运算中，满足交换律和结合律，也就是
\(A+B=B+A\)
\((A+B)+C=A+(B+C)\)
也许有人想问了，如果我想让两个非同型矩形进行相加可不可以实现呢？
答案是可以的，这种运算是被支持的，我们称这种运算为直和
但由于这种运算使用较少，且与本文关系不大，我们在此不多做解释，感兴趣的朋友可以阅览下面的链接，相信它会给你一个满意的答复
减法运算
在实数运算中，减法为加法的逆运算，同样的，在矩阵运算中也是如此，如下图
数乘
在实数运算中我们并没有数乘这种运算（毕竟本身就是数，直接叫乘法了）
所以在数乘运算中，我们类比向量来进行理解
在数乘向量运算中，只需要将向量中的每个元素乘上那个数就可以了
数乘矩阵也是如此，如图
数乘矩阵运算中，满足如下运算律
\((\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\)
\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)
\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
矩阵乘法（矩阵乘矩阵）
在向量乘向量的运算中，是将每个元素与它对应的元素相乘，求所有乘积之和
那么矩阵乘矩阵是不是就是两个同型矩阵的对应元素相乘呢？
图样图森破
两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数
举个栗子，\(A\)为\(n*k\)矩阵，\(B\)为\(k*m\)矩阵，\(C\)为\(m*n\)矩阵，那么\(A\)可以与\(B\)相乘，\(B\)可以与\(C\)相乘，\(C\)可以与\(A\)相乘，其他均不成立
我们知道了什么情况下两个矩阵可以相乘，那么他们怎么相乘呢？不讲每个对应位置相乘还能怎么乘呢？
设\(A\)为\(n*k\)矩阵，\(B\)为\(k*m\)矩阵,那么它们的乘积\(C\)则为一个\(n*m\)矩阵
\(C_{i,j}=\sum_{r=1}^kA_{i,r}*B_{r,j}\)
是不是不太好理解，没关系看看图就知道了
在矩阵乘法中满足以下运算律：
\((AB)C=a(BC)\)
\((A+B)C=AC+BC\)
\(C(A+B)=CA+CB\)
在普通的乘法中，一个数乘1还是等于它本身，在矩阵乘法中也有这么一个“1”，它就是单位矩阵
不同于普通乘法中的单位1，对于不同矩阵他们的单位矩阵大小是不同的
对于\(n*m\)的矩阵，它的单位矩阵大小为\(m*m\)，对于\(m*n\)的矩阵，它的单位矩阵大小为\(n*n\)
也就是说单位矩阵都是正方形的，这是因为只有正方形的矩阵能保证结果和前一个矩阵形状相同
单位矩阵的元素非0即1，从左上角到右下角的对角线上元素皆为1，其他皆为0
