单调队列/单调栈入门详解+题目推荐

以前一直以为这两个是很高级的东西，这段时间用到了才开始学，发现实际上非常简单

下面我们以单调队列为例进行讲解，单调栈自行类比

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顾名思义

单调队列这个名字就指明了它的性质——单调性

我们来看一道例题——滑动窗口

题面在此不再赘述，大意就是有一个长度为\(n\)的数列，一个长度为\(k\)的窗口，输出窗口位于每个位置下的下的最大最小值

嗯，题目很好理解，st表或者线段树过的先别说话，我们来看看另一种方法

我们维护一个长度为k的队列，使得队列的开头为答案，那么我们每次只需要输出开头就好了。这个想法很好，可是怎么实现呢？

以最大值为例，既然我们想要保证队列开头为答案，那么我们就要保证每次更新使最大值一直放在队列。那么如果存储的最大值该弹出了怎么办呢？我们只需要记录下每个元素的位置，判断是否在区间内即可。

队头弹出后，第二位就变成了队头，我们就要保证这个数现在是区间内最大。那么是不是说，我们需要将这个长度为\(k\)的区间中的每一个数都存起来呢？不是的，并不是每个数被记录都有意义的。举个例子，\(a_i\)和\(a_j\)两个数，i<j。如果\(a_i\)>\(a_j\)，那么两个数都应该记录；但是如果\(a_i≤a_j\)，那么当\(a_j\)进入区间后，\(a_i\)的记录就没有意义了。很好理解，我们假设每个数作为区间最大值的次数为它的贡献，当\(a_j\)进入区间以后，在区间中存在的时间一定比\(a_i\)长，也就说明\(a_i\)一定不会再做贡献了，我们确定没有贡献的点，便可以直接删去，以维护单调队列的单调性。

那么这道题也就已经做出来了，我们再来看看代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 1000005
using namespace std;

inline ll read(){
	ll a=0;int f=0;char p=gc();
	while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
	while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
	return f?-a:a;
}

struct ahaha{    //v表示数的大小，pos表示数的位置
	int v,pos;
}q[maxn];
int n,a[maxn],h=1,t,k;
int main(){
	n=read();k=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(h<=t&&q[h].pos+k<=i)++h;    //维护区间长度，使队列内的数都在区间内
		while(h<=t&&q[t].v>=a[i])--t;    //维护队列单调性，上已证明
		q[++t].v=a[i];q[t].pos=i;      //将当前元素放入队尾
		if(i>=k)printf("%d ",q[h].v);
	}
	h=1;t=0;
	printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(h<=t&&q[h].pos+k<=i)++h;
		while(h<=t&&q[t].v<=a[i])--t;
		q[++t].v=a[i];q[t].pos=i;
		if(i>=k)printf("%d ",q[h].v);
	}
	return 0;
}

看到这里，你应该已经对单调队列有了一个初步的理解，下面推荐几道入门题（顺序与难度无关）

例题

扫描

逛画展

琪露诺

切蛋糕

[USACO09MAR]向右看齐Look Up

Bad Hair Day

Feel Good

Largest Rectangle in a Histogram