LeetCode 363. Max Sum of Rectangle No Larger Than K

方法一：DP (TLE?)

brute force需要先枚举左上顶点 O(mn)，右下顶点 O(mn)，然后扫描面积 O(mn)，总时间复杂度 O((mn)^3)。

我们可以用DP优化。利用二维prefix sum，计算出所有(0,0)到(i,j)的面积。这样对于任意一个矩形，我们可以通过大矩形减去两块矩形加上被两次减去的矩形得到。

时间复杂度 O((mn)^2)

 

方法二：Prefix Sum + Binary Search

想办法把问题简化为一维的问题。

枚举任意两行，把两行内的元素“拍扁”，得到一个长度为n的数组。问题转化为找 sum<=k 的subarray。

用prefix sum的方法，subarray [i+1~j] 的sum可以表示为 prefixSum[j] - prefixSum[i]。

根据题意，我们要保证 prefixSum[j] - prefixSum[i] <= k，即 prefixSum[i] >= prefixSum[j] - k。

由此，我们可以遍历j，计算prefixSum，与此同时用二分去找到 prefixSum[i]，用prefixSum[j]-prefixSum[i]更新答案。

本题和 560. Subarray Sum Equals K 非常类似，数组中有负数并不影响。

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        int m=matrix.size(), n=m==0?0:matrix[0].size();
        if (m==0 || n==0) return 0;
        
        int res=INT_MIN;
        for (int r1=0;r1<m;++r1){
            vector<int> compress(n,0);
            for (int r2=r1;r2<m;++r2){
                for (int j=0;j<n;++j)
                    compress[j] += matrix[r2][j];
                
                // find max subarray <=k in compress
                int curSum=0, maxSum=INT_MIN;
                set<int> prefixSum;
                prefixSum.insert(0);
                for (int x:compress){
                    curSum += x;
                    auto it=prefixSum.lower_bound(curSum-k);
                    if (it!=prefixSum.end()) maxSum=max(maxSum,curSum-*it);
                    prefixSum.insert(curSum);
                }
                res = max(res,maxSum);
            }
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度 O(m^2 nlogn)，先处理row还是col会影响，选小的那个即可。

本题测试点比较恶心，上述代码枚举row，超时。用相同的方法枚举两列col，拍扁做能AC。

 

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LeetCode 85. Maximal Rectangle

 

Reference

https://leetcode.com/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k/discuss/83599/Accepted-C++-codes-with-explanation-and-references?page=4