Prim算法

最小生成树

3条构造最小生成树的准则：

1. 只能使用该网络中的边来构造最小生成树
2. 只能使用恰好n-1条边来联结网络中的n个结点
3. 选用的这个n-1条边不能构成回路。

MST性质

假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集。若（u，v）是一条具有最小值（代价）的边，其中u属于U，v属于V-U（即U对立集合），那么必存在一颗包含边（u，v）的最小生成树。

注意prim和kruskal算法都是利用MST性质

如何利用MST性质来构造最小生成树？

我们知道权值最小的肯定在最小生成树中，权值次小的边也会被至少一颗生成树采用，关键第三小的边选择（由于第三条边可能出现回路，从而不满足树的定义）。由此我们可以使用不同策略来解决回路问题常见的算法有Prim算法和kruskal算法。（都用了贪心策略）

Prim算法

解决上述的关键点思想是：将定点集合分成两个U，V-U（初始状态U中只有一个Uo），再加上一个TE集合来表示最小生成树边的集合。

/*
*LowCost[i]:当前生成树（U集合）到顶点i的多条边中最短的一条边。
*VexSet[i]:顶点i不在生成树中。1表示在里面，0反之。
*MGraph用的邻接矩阵表示，其中用edges[i][j]来记录i-->j是否有关系。n表示顶点个数，e表示边的个数。
*/
void Prim(MGraph g,int v,int &sum)
 {
      int LowCost[Max],VexSet[Max],v;
      int i,j,k,min;

     //初始化LowCost,VexSet数组  
​    for(i=0;i<g.n;i++)
​    {
​    ​    LowCost[i]=g.edges[v][i];
​    ​    VexSet[i]=0;
​    }​ 

   ​ ​ VexSet[v]=1;
​    ​  sum=0;
   /*------------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------------------*/
     for(i=0;i<g.n;i++)
      {
           min = INF;//表示无穷或者大于所有的权值就行

          //找出LowCost的最短代价（权值）即找出最短边中的最短的一条。​    
          for(j=0;j<g.n;j++)
           {
                if(VexSet[j]==0&&LowCost[j]<min)
                {
                     min = LowCost[j];
                     k=j;
                }
           }
   
          //将该条边加入生成树中
           VexSet[k]=1;
           v=k;
           sum+=min;//这个可以根据需要调整，这里做的是计算min的和。

          //加入一个顶点v之后，生成树到各个不在生成树的顶点的最小值也会变。
           //即更新LowCost数组（只计算不在生成树的顶点且只要更新与新添进去的顶点相关的边）。
           for(j=0;j<g.n;j++)
           {
                if(VexSet[j]==0&&g.edges[v][j]<LowCost[j])
                {
                     LowCost[j]=g.edges[v][j];
                }
           }

      }
 }