OI学习笔记6：决策单调性

决策单调性

一、决策单调性

1、定义。

• 定义：状态转移方程中，记 \(p[i]\) 为令 \(F[i]\) 取到最值的转移位置 \(j\) 的值（即 \(p[i]\) 是 \(F[i]\) 的最优决策），若 \(p\) 数组在 \([1,N]\) 单调非降，则称 \(F\) 具有决策单调性。

2、双指针。

• 如果在满足决策单调性的同时，保证后一次与前一次的函数取值也形成单调性，那么就可以根据值的增与减确定最优决策点的位置，此时就可使用双指针进行扫描。

二、四边形不等式

1、四边形不等式。

• 定义 \(w(x,y)\) 为整数域上一二元函数。
• 若对于 \(D_w\) 上任意整数 \(a,b,c,d\)，其中 \(a\leq b\leq c\leq d\)，都有
  \[w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d) \]
  成立，则称 \(w\) 满足四边形不等式。（跨越 \(+\) 包含 \(\geq\) 交叉）

2、拓展形式。

• 若对于 \(D_w\) 上任意 \(a,b\in Z\)，且 \(a<b\)，都有
  \[w(a,b+1)+w(a+1,b)\geq w(a,b)+w(a+1,b+1) \]
  成立，则 \(w\) 满足四边形不等式。

3、区间包含单调性。

• 若对于 \(D_w\) 上任意整数 \(a,b,c,d\)，且 \(a\leq b\leq c\leq d\)，都有
  \[w(a,d)\geq w(b,c) \]
  成立，则称 \(w\) 满足区间包含单调性。

4、满足四边形不等式的函数类。

（1）四条性质。

• 性质 \(1\)：若函数 \(w_1(l,r),w_2(l,r)\) 均满足四边形不等式（或区间包含单调性），则对于任意 \(c_1,c_2\geq 0\)，函数 \(c_1w_1+c_2w_2\) 也满足四边形不等式（或区间包含单调性）。
• 性质 \(2\)：若存在函数 \(f(x),g(x)\) 使得 \(w(l,r)=f(r)-g(l)\)，则函数 \(w\) 满足四边形不等式。当函数 \(f,g\) 单调增加时，函数 \(w\) 还满足区间包含单调性。
• 性质 \(3\)：设 \(h(x)\) 为一单调增加的下凸函数，若函数 \(w(l,r)\) 满足四边形不等式并且满足区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(l,r))\) 也满足四边形不等式和区间包含单调性。
• 性质 \(4\)：设 \(h(x)\) 为一下凸函数，若函数 \(w(l,r)\) 满足四边形恒等式并满足区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(l,r))\) 也满足四边形不等式。

（2）部分性质的证明（性质 \(3\)）。

证明：

• 任取 \(l\leq l' \leq r'\leq r\)，根据函数 \(w\) 对区间包含单调性有 \(w(l',r')\leq w(l,r)\) 成立，
  又 \(\because h(x)\) 单调递增，
  \(\therefore h(w(l',r'))\leq h(w(l,r))\)，即复合函数 \(h\circ w\) 也满足区间包含单调性。
• 任取 \(l_1\leq l_2\leq r_1\leq r_2\)，根据函数 \(w\) 满足四边形不等式，有：
  \[w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\leq w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)······(1) \]
  对 \((1)\) 式移项，结合 \(w\) 满足区间包含单调性，有：
  \[0\leq w(l_1,r_1)-w(l_2,r_1)\leq w(l_1,r_2)-w(l_2,r_2) \]
  记 \(t=w(l_1,r_2)-w(l_2,r_2) \geq 0\)，则：（证明性质 \(4\) 时 \((2)\) 式不等号变等号，不用单调性）
  \[w(l_1,r_1)\leq w(l_2,r_1)+t······(2) \]
  \[w(l_1,r_2)=w(l_2,r_2)+t······(3) \]
  由 \(h(x)\) 的单调性可知：
  \[h(w(l_1,r_1))-h(w(l_2,r_1))\leq h(w(l_2,r_1)+t)-h(w(l_2,r_1))······(4) \]
  \[h(w(l_1,r_2))-h(w(l_2,r_2))=h(w(l_2,r_2)+t)-h(w(l_2,r_2))······(5) \]
  令 \(\Delta h(x)=h(x+t)-h(x)\)，则：
  \[\Delta h'(x)=h'(x+t)-h'(x) \]
  由于 \(h(x)\) 是一个下凸函数，因此导函数 \(h'(x)\) 单调递增，故 \(\Delta h(x)\) 也单调增加，由 \((4),(5)\) 可知：
  \[h(w(l_1,r_1))-h(w(l_2,r_1))\leq \Delta h(w(l_2,r_1)) \]
  \[\leq \Delta h(w(l_2,r_2))=h(w(l_1,r_2))-h(w(l_2,r_2)) \]
  即：
  \[h(w(l_1,r_1))+h(w(l_2,r_2))\leq h(w(l_1,r_2))+h(w(l_2,r_1)) \]
  这说明 \(h\circ w\) 也满足四边形不等式。
  \(\square\)

三、优化 \(1D/1D\) 动态规划

1、定义。

• \(1D/1D\) 动态规划指状态数为 \(O(n)\)，每一个状态决策量为 \(O(n)\) 的动态规划方程。

2、单调性证明。

• 一维线性动态规划方程
  \[F[i]=\displaystyle \min_{0\leq j<i}{\{F[j]+w(j,i)\}} \]
  由于 \(w(j,i)\) 与 \(j\) 相关，因此各个 \(j\) 间不一定满足单调性。
• 定理：一维决策单调性
  • 在状态转移方程 \(F[i]=\displaystyle \min_{0\leq j<i}{\{F[j]+w(j,i)\}}\) 中，若 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(F\) 具有决策单调性。

3、方法。

• 单调队列维护决策点。
• 整体二分维护决策点。

四、优化 \(2D/1D\) 动态规划

1、定义。

• \(2D/1D\) 动态规划指状态数为 \(O(n^2)\)，每一个状态决策量为 \(O(n)\) 的动态规划方程。

2、二维区间动态规划方程。

• 在石子相并类DP中，二维区间动态规划方程被描述为：
  \[F[i,j]=\displaystyle\min_{i\leq k<j}{\{F[i,k]+F[k+1,j]+w(i,j)\}} \]

• 而在区间划分类DP中，二维区间动态规划方程被描述为：
  \[F[i,j]=\displaystyle\min_{k\leq j}{\{F[i-1,k]+w(k,j)\}} \]

• 定理 \(1\)：
  • 在 \(F[i,j]=\displaystyle\min_{i\leq k<j}{\{F[i,k]+F[k+1,j]+w(i,j)\}}\) 中，若函数 \(w\) 满足：
    • 四边形不等式
    • 区间包含单调性
      则 \(F\) 也满足四边形不等式。
• 定理 \(2\)：
  • 在 \(F[i,j]=\displaystyle\min_{i\leq k<j}{\{F[i,k]+F[k+1,j]+w(i,j)\}}\) 中，记 \(P[i,j]\) 为令 \(F[i,j]\) 取到最小值的决策点，若 \(F\) 满足四边形不等式，则 \(\forall i<j\)，有
  \[P[i,j-1]\leq P[i,j]\leq P[i+1,j] \]

五、用决策单调性解决问题的大概步骤。

• 证明 \(w\) 满足四边形不等式与区间包含单调性。
• 推出 \(F\) 满足四边形不等式。
• 推出 \(P[i,j-1]\leq P[i,j]\leq P[i+1,j]\)。

时间复杂度为 \(O(n^2)\)。
拓展：\(GarsiaWachs\) 算法。