OI学习笔记4：线段树

线段树

一、线段树

1、线段树：

• 线段树是算法竞赛中常用来维护区间信息的数据结构。
• 线段树可以在 \(O(\log N)\) 的时间复杂度内实现：
  单点修改，区间修改，区间查询（求和，最大值，最小值）等操作。

2、数学上理解线段树。

• 线段树维护的信息在很多时候可以认为是满足幺（半）群性质的信息。
• 一个幺（半）群 \(M=(S,\circ, e)\)，其中 \(\circ\) 为在集合 \(S\) 上定义的二元运算符， \(M\) 具有以下性质：
  • 封闭性：\(\forall x \in S\) 和 \(\forall y \in S\)，有 \(x \circ y \in S\)。
  • 结合律：\(\forall x,y,z \in S\)，有 \((x \circ y)\circ z=x \circ (y\circ z)\)。
  • 存在幺元：\(\exists e \in S\)，满足 \(\forall x \in S\)，有 \(e\circ x=x\)，\(e\) 为左幺元；或 \(x\circ e=x\)，\(e\) 为右幺元。

二、基本结构与建树

• 线段树将每个长度不为 \(1\) 的区间划分为左右两个区间递归建树。

void build(int p, int l, int r){
	if(l == r){
		d[p] = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(p<<1, l, mid);
	build(p<<1|1, mid + 1, r);
	d[p] = d[p<<1] + d[p<<1|1];
}

三、区间修改与懒标记

1、懒标记的作用。

• 懒标记保存父节点对子节点的待定操作，等到查询到该节点时再将操作下放。

2、两种不同的懒标记应用。

（1）加上、减去某个值。

void update(int nl, int nr, int l, int r, int c, int p){
	if(nl <= l && r <= nr){
		d[p] += (r - l + 1) * c, tag[p] += c;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(tag[p] && l != r){//懒标记下放
		d[p << 1] += tag[p] * (mid - l + 1);
		d[p << 1 | 1] += tag[p] * (r - mid);
		tag[p<<1] += tag[p], tag[p<<1|1] += tag[p];
		tag[p] = 0;
	}
	if(nl <= mid) update(nl, nr, l, mid, c, p << 1);
	if(nr > mid) update(nl, nr, mid + 1, r, c, p << 1 | 1);
	d[p] = d[p<<1] + d[p<<1|1];
}

（2）修改某个值。

void update(int nl, int nr, int l, int r, int c, int p){
	if(nl <= l && r <= nr){
		d[p] = (r - l + 1) * c, tag[p] = c;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(tag[p]){//懒标记下放
		d[p << 1] = tag[p] * (mid - l + 1);
		d[p << 1 | 1] = tag[p] * (r - mid);
		tag[p<<1] = tag[p], tag[p<<1|1] = tag[p];
		tag[p] = 0;
	}
	if(nl <= mid) update(nl, nr, l, mid, c, p << 1);
	if(nr > mid) update(nl, nr, mid + 1, r, c, p << 1 | 1);
	d[p] = d[p<<1] + d[p<<1|1];
}

四、区间查询

1、求和。

int query(int qx, int qy, int l, int r, int p){
	if(qx <= l && r <= qy) return d[p];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(tag[p]){
		d[p<<1]=tag[p] * (mid - l + 1);
		d[p<<1|1]=tag[p] * (r - mid);
		tag[p<<1] = tag[p<<1|1] = tag[p];
		tag[p] = 0;
	}
	int sum = 0;
	if(qx <= mid) sum += query(qx, qy, l, mid, p<<1);
	if(qy > mid) sum += query(qx, qy, mid + 1, r, p<<1|1);
	return sum;
}

2、最值。

（1）最大值。

int query(int qx, int qy, int l, int r, int p){
	if(qx <= l && r <= qy) return d[p];
	int mid = (l + r) >> 1;
	int ans = 0;
	if(qx <= mid) ans = max(ans, query(qx, qy, l, mid, p<<1));
	if(qy > mid) ans = max(ans, query(qx, qy, mid + 1, r, p<<1|1));
	return ans;
}

（2）最小值。

int query(int qx, int qy, int l, int r, int p){
	if(qx <= l && r <= qy) return d[p];
	int mid = (l + r) >> 1;
	int ans = 0;
	if(qx <= mid) ans = min(ans, query(qx, qy, l, mid, p<<1));
	if(qy > mid) ans = min(ans, query(qx, qy, mid + 1, r, p<<1|1));
	return ans;
}

五、优化策略

• 叶子节点处无需下放懒标记。
• 下放懒标记可写一个专门的 \(pushdown\) 函数，从儿子节点更新父亲节点也可以写一个专门的函数 \(pushup\)，降低编写难度。
• 标记永久化。如果确定懒标记不会被加到溢出，就可以将标记永久化。它可以避免下传懒标记，只需在询问时把标记的影响加到答案中去，从而降低程序常数。

六、注意事项

• 不要有冗余代码与变量。

• 不要在修改算法正确性的情况下胡乱增删代码只为过样例。

• query操作一般要pushdown,特殊情况不用。

• 注意题目特殊条件。

• 二维线段树只用在第二维建树， 第一维存第二维线段树的根结点。

• 二维线段树函数使用时注意各个参量的确切含义，读题时注意操作的类型，以便确定各类操作的区间范围。

• 二维线段树一般不用懒标记。

• update函数中的判断条件是 (lx <= l && r<= rx) 或者(x <= d[p].left && d[p].right <= y)，前者无结构体，后者有结构体,有时还需判断交集和结点的染色情况。

• query函数中的判断条件是(l == r)，有时与update函数的第一个判断条件相同(维护加乘减法操作时是这样)。

• 一维线段树维护加法与乘法，懒标记下放时遵循“先乘后加”原则。

• 线段树的结构体写法中，区间包括在结构体中，函数内判定时直接使用当前结点的区间，适合写覆盖操作，写覆盖操作时父结点要清零。

• 线段树的数组写法中，区间要额外引入，懒标记下传方便，适合写四则运算操作。

• 覆盖操作注意是左闭右开区间，要减1。