prufer 序列 学习笔记
prufer 序列是一种无根树的序列，对于一个 \(n\) 个点的树，其 prufer 序列的长度为 \(n-2\)。
prufer 序列和原树之间都可以唯一地相互转化。
构造
构造 prufer 序列分为如下的步骤：
- 找到一个编号最小的度数为 \(1\) 的点；
- 将与这个点相邻的点的编号加入 prufer 序列的后面；
- 删除这个点；
- 重复上述步骤，知道原树只剩下 \(2\) 个点，这两个点之间应该有一条边。
还原
令集合 \(V = \{1, 2, \cdots, n\}\)。
-
取出 prufer 序列最前面的点 \(x\)；
-
找到 \(V\) 序列中最小的没有在现在的 prufer 序列中出现过的点 \(y\)；
-
将 \(x\) 和 \(y\) 连边并从集合 \(V\) 中删除 \(y\)，从 \(prufer\) 序列中删除最前面的 \(x\)。
-
重复上述步骤，直到 prufer 序列被遍历完；此时 \(V\) 中应该还剩下两个点，给它们连边。
考虑这样还原为什么是对的。
每一次被配对的 \(y\)，应该是原树在删掉 prufer 序列 \(x\) 之前的点后的叶子。
那么根据之前的构造步骤，这个 \(y\) 必须满足：
- 是个叶子，这个条件等价于没有在后面的 prufer 序列中出现。
- 之前没有被选过；
- 编号最小。
于是就有了上面的选 \(y\) 的条件了。
性质
性质 1
一棵无根树的每个点的度数等于这个点在 prufer 序列中的出现次数 \(+1\)。
这个结论很显然，由构造过程就可以发现。
性质 2
一棵有标号的无根树的数量为 \(n^{n-2}\)。
可以发现我们的还原过程中，prufer 序列本身没有任何限制。
只要是长度为 \(n-2\)，值域为 \(n\) 的序列，都可以还原成一棵树。
性质 3
如果限定了每个点的度数，编号为 \(i\) 的点的度数为 \(a_i\)，那么方案为 \(\frac{(n-2)!}{\prod\limits_{i=1}^n a_i-1}\)。
显然必须有 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i = 2(n-1) = 2n - 2\)，于是 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i - 1 = n - 2\)，所以相当于是做一个可以重复元素的全排列。
