bzoj5210 最大连通子块和 动态 DP + 堆

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https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5210

题解

令 \(dp[x][0]\) 表示以 \(x\) 为根的子树中的包含 \(x\) 的连通块的点权和最大值，\(dp[x][1]\) 为 \(x\) 的所有孩子中的子树的连通块点权和最大值。

于是有这样的式子：

\[dp[x][0] = \max(w_x+\sum_{y\in child_x} dp[y][0], 0)\\dp[x][1] = \max_{y\in child_x} \max(dp[y][0], dp[y][1]) \]

（其实似乎把 \(dp[x][1]\) 算上 \(dp[x][0]\) 的内容也没什么问题，但是我一开始就这样想的不想改了）

现在把这个 \(dp\) 动态化。令树剖以后，\(x\) 的重儿子为 \(son_x\)，\(x\) 的轻儿子的集合为 \(light_x\)。令 \(h[x][0] = \sum\limits_{y \in light_x} dp[y][0]\)，\(h[x][1] = \max\limits_{y\in light_x} max(dp[y][0], dp[y][1])\)。

于是上面的方程可以改写为

\[dp[x][0] = \max(w_x+h[x][0] + dp[son_x][0], 0)\\dp[x][1] = \max(h[x][1], dp[son_x][1], dp[son_x][0]) \]

于是矩阵（矩乘是把乘法看成加法，加法看成取 \(\max\)）就长这样：

\[\begin{bmatrix}h[x][0] + w_x & -\infty & 0\\ 0 & 0 & h[x][1] \\ -\infty & -\infty & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} dp[son_x][0] \\ dp[son_x][1] \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dp[x][0] \\ dp[x][1] \\ 0 \end{bmatrix} \]

然后就套一个动态 DP 的板子就可以了。

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有一个需要注意的地方就是因为 \(dp[x][1]\) 是取 \(\max\) 的，所以在更新 \(dp[x][1]\) 的时候需要用一个可删除堆来维护最大值。

昨天这道题因为一个 ll 没有写调了几个小时。

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单次询问是 \(O(\log n)\) 的，单次修改是 \(O(\log^2 n)\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

#define lc o << 1
#define rc o << 1 | 1

const int N = 200000 + 7;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, m, dfc;
int a[N];
int dep[N], f[N], siz[N], son[N], dfn[N], pre[N], top[N], bot[N];
ll dp[N][2], h[N][2], hh[N][2];

struct Heap {
	std::priority_queue<ll> q, p;
	inline void sync() { while (!q.empty() && !p.empty() && q.top() == p.top()) q.pop(), p.pop(); }
	inline void push(ll x) { q.push(x); sync(); }
	inline void del(ll x) { p.push(x), sync(); }
	inline ll top() { sync(); return q.top(); }
	inline bool empty() { sync(); return q.empty(); }
	inline int size() { sync(); return q.size() - p.size·(); }
} q[N];

struct Edge { int to, ne; } g[N << 1]; int head[N], tot;
inline void addedge(int x, int y) { g[++tot].to = y, g[tot].ne = head[x], head[x] = tot; }
inline void adde(int x, int y) { addedge(x, y), addedge(y, x); }

struct Matrix {
	ll a[3][3];
	inline Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
	inline Matrix operator * (const Matrix &b) {
		Matrix c;
		c.a[0][0] = std::max(std::max(a[0][0] + b.a[0][0], a[0][1] + b.a[1][0]), a[0][2] + b.a[2][0]);
		c.a[0][1] = std::max(std::max(a[0][0] + b.a[0][1], a[0][1] + b.a[1][1]), a[0][2] + b.a[2][1]);
		c.a[0][2] = std::max(std::max(a[0][0] + b.a[0][2], a[0][1] + b.a[1][2]), a[0][2] + b.a[2][2]);
		c.a[1][0] = std::max(std::max(a[1][0] + b.a[0][0], a[1][1] + b.a[1][0]), a[1][2] + b.a[2][0]);
		c.a[1][1] = std::max(std::max(a[1][0] + b.a[0][1], a[1][1] + b.a[1][1]), a[1][2] + b.a[2][1]);
		c.a[1][2] = std::max(std::max(a[1][0] + b.a[0][2], a[1][1] + b.a[1][2]), a[1][2] + b.a[2][2]);
		c.a[2][0] = std::max(std::max(a[2][0] + b.a[0][0], a[2][1] + b.a[1][0]), a[2][2] + b.a[2][0]);
		c.a[2][1] = std::max(std::max(a[2][0] + b.a[0][1], a[2][1] + b.a[1][1]), a[2][2] + b.a[2][1]);
		c.a[2][2] = std::max(std::max(a[2][0] + b.a[0][2], a[2][1] + b.a[1][2]), a[2][2] + b.a[2][2]);
		return c;
	}
} t[N << 2];

inline void dfs1(int x, int fa = 0) {
	dep[x] = dep[fa] + 1, f[x] = fa, siz[x] = 1;
	for fec(i, x, y) if (y != fa) dfs1(y, x), siz[x] += siz[y], siz[y] > siz[son[x]] && (son[x] = y);
}
inline void dfs2(int x, int pa) {
	top[x] = pa, dfn[x] = ++dfc, pre[dfc] = x;
	if (!son[x]) return (void)(bot[x] = x);
	dfs2(son[x], pa), bot[x] = bot[son[x]];
	for fec(i, x, y) if (y != f[x] && y != son[x]) dfs2(y, y);
}
inline void dfs3(int x, int fa = 0) {
	dp[x][0] = a[x];
	for fec(i, x, y) if (y != fa) {
		dfs3(y, x);
		dp[x][0] += dp[y][0];
		smax(dp[x][1], std::max(dp[y][1], dp[y][0]));
		if (y != son[x]) h[x][0] += dp[y][0], smax(h[x][1], std::max(dp[y][1], dp[y][0])), q[x].push(std::max(dp[y][1], dp[y][0]));
	}
	smax(dp[x][0], 0);
}

inline void build(int o, int L, int R) {
	if (L == R) {
		int x = pre[L];
		t[o].a[0][0] = h[x][0] + a[x], t[o].a[0][1] = -INF, t[o].a[0][2] = 0;
		t[o].a[1][0] = 0, t[o].a[1][1] = 0, t[o].a[1][2] = h[x][1];
		t[o].a[2][0] = -INF, t[o].a[2][1] = -INF, t[o].a[2][2] = 0;
		return;
	}
	int M = (L + R) >> 1;
	build(lc, L, M), build(rc, M + 1, R);
	t[o] = t[lc] * t[rc];
}
inline void qadd(int o, int L, int R, int x) {
	if (L == R) {
		int x = pre[L];
		t[o].a[0][0] = h[x][0] + a[x], t[o].a[0][1] = -INF, t[o].a[0][2] = 0;
		t[o].a[1][0] = 0, t[o].a[1][1] = 0, t[o].a[1][2] = h[x][1];
		t[o].a[2][0] = -INF, t[o].a[2][1] = -INF, t[o].a[2][2] = 0;
		return;
	}
	int M = (L + R) >> 1;
	if (x <= M) qadd(lc, L, M, x);
	else qadd(rc, M + 1, R, x);
	t[o] = t[lc] * t[rc];
}
inline Matrix qsum(int o, int L, int R, int l, int r) {
	if (l <= L && R <= r) return t[o];
	int M = (L + R) >> 1;
	if (r <= M) return qsum(lc, L, M, l, r);
	if (l > M) return qsum(rc, M + 1, R, l, r);
	return qsum(lc, L, M, l, r) * qsum(rc, M + 1, R, l, r);
}

inline Matrix qry(int x) { return qsum(1, 1, n, dfn[x], dfn[bot[x]]) * Matrix(); }
inline void upd(int x, int k) {
	a[x] = k;
	while (top[x] != 1) {
		Matrix tmp1 = qry(top[x]);
		qadd(1, 1, n, dfn[x]);
		Matrix tmp2 = qry(top[x]);
		int fa = f[top[x]];
		h[fa][0] += tmp2.a[0][0] - tmp1.a[0][0];
		q[fa].del(std::max(tmp1.a[0][0], tmp1.a[1][0])), q[fa].push(std::max(tmp2.a[0][0], tmp2.a[1][0])), h[fa][1] = q[fa].top();
		x = fa;
	}
	qadd(1, 1, n, dfn[x]);
}

inline void work() {
	dfs1(1), dfs2(1, 1), dfs3(1), build(1, 1, n);
	Matrix tmp;
	while (m--) {
		static char opt[5];
		int x, y;
		scanf("%s", opt);
		if (*opt == 'Q') read(x), tmp = qry(x), printf("%lld\n", std::max(tmp.a[0][0], tmp.a[1][0]));
		else read(x), read(y), upd(x, y);
	}
}

inline void init() {
	read(n), read(m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
	int x, y;
	for (int i = 1; i < n; ++i) read(x), read(y), adde(x, y);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}