bzoj3091 城市旅行 LCT + 区间合并
题目传送门
https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3091
题解
调了整个晚自习才调出来的问题。
乍一看是个 LCT 板子题。
再看一眼还是个 LCT 板子题，不过需要考虑两个区间的结果的合并。
首先考虑到期望可以转化为每一个区间的权值和。那么对于每一个区间，我们维护一个 \(s, ls, rs, sum\) 分别表示整个区间的和，所有前缀的和，所有后缀的和，整个区间的子区间权值和。
那么在区间合并的时候，\(rs\) 会被计算右区间大小次，\(ls\) 会被计算左区间大小次，直接合并就可以了。
合并出 \(ls, rs\) 的时候考虑每一个区间的值的变化即可。
还有一个东西是加标记 \(k\) 对一个区间的影响。设区间长度为 \(len\)。
这个标记对 \(ls, rs\) 的影响很显然，就是每一个前缀的长度和 \(\cdot k\)，即 $\frac{len(len+1)k}2 $。
对于 \(sum\) 的影响是所有子区间长度之和。可以从每一个长度的区间数量来求，过程中式子比较繁琐，只给出答案：\(\frac{len(len+1)(len+2)k}6\)。
注意：
- \(ls, rs, sum\) 一类东西太多，不要搞混；
- 不连通时不要操作！！！不连通时不要操作！！！不连通时不要操作！！！
时间复杂度 \(O(m\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;
template<typename I> inline void read(I &x) {
int f = 0, c;
while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
x = c & 15;
while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
f ? x = -x : 0;
}
const int N = 50000 + 7;
#define lc c[0]
#define rc c[1]
int n, m;
int a[N];
struct Node {
int c[2], fa, rev, sz, v, add;
ll s, sum, ls, rs;
} t[N];
int st[N];
inline bool isroot(int o) { return t[t[o].fa].lc != o && t[t[o].fa].rc != o; }
inline bool idtfy(int o) { return t[t[o].fa].rc == o; }
inline void connect(int fa, int o, int d) { t[fa].c[d] = o, t[o].fa = fa; }
inline Node add_tag(Node a, int k) {
a.v += k, a.add += k;
a.s += (ll)k * a.sz;
a.sum += (ll)a.sz * (a.sz + 1) * (a.sz + 2) / 6 * k;
a.ls += (ll)a.sz * (a.sz + 1) / 2 * k;
a.rs += (ll)a.sz * (a.sz + 1) / 2 * k;
return a;
}
inline void pushup(int o) {
assert(!t[o].rev && !t[o].add);
const Node &tl = t[t[o].lc], &tr = t[t[o].rc];
t[o].sz = tl.sz + tr.sz + 1;
t[o].s = tl.s + tr.s + t[o].v;
t[o].ls = tl.ls + (tl.s + t[o].v) * (tr.sz + 1) + tr.ls;
t[o].rs = tr.rs + (tr.s + t[o].v) * (tl.sz + 1) + tl.rs;
t[o].sum = tl.sum + tr.sum + (ll)t[o].v * (tl.sz + 1) * (tr.sz + 1) + tl.rs * (tr.sz + 1) + tr.ls * (tl.sz + 1);
}
inline void pushdown(int o) {
if (t[o].rev) {
if (t[o].lc) t[t[o].lc].rev ^= 1, std::swap(t[t[o].lc].lc, t[t[o].lc].rc), std::swap(t[t[o].lc].ls, t[t[o].lc].rs);
if (t[o].rc) t[t[o].rc].rev ^= 1, std::swap(t[t[o].rc].lc, t[t[o].rc].rc), std::swap(t[t[o].rc].ls, t[t[o].rc].rs);
t[o].rev = 0;
}
if (t[o].add) {
if (t[o].lc) t[t[o].lc] = add_tag(t[t[o].lc], t[o].add);
if (t[o].rc) t[t[o].rc] = add_tag(t[t[o].rc], t[o].add);
t[o].add = 0;
}
}
inline void rotate(int o) {
int fa = t[o].fa, pa = t[fa].fa, d1 = idtfy(o), d2 = idtfy(fa), b = t[o].c[d1 ^ 1];
if (!isroot(fa)) t[pa].c[d2] = o; t[o].fa = pa;
connect(o, fa, d1 ^ 1), connect(fa, b, d1);
pushup(fa), pushup(o);
}
inline void splay(int o) {
int x = o, tp = 0;
st[++tp] = x;
while (!isroot(x)) st[++tp] = x = t[x].fa;
while (tp) pushdown(st[tp--]);
while (!isroot(o)) {
int fa = t[o].fa;
if (isroot(fa)) rotate(o);
else if (idtfy(o) == idtfy(fa)) rotate(fa), rotate(o);
else rotate(o), rotate(o);
}
}
inline void access(int o) {
for (int x = 0; o; o = t[x = o].fa)
splay(o), t[o].rc = x, pushup(o);
}
inline void mkrt(int o) {
access(o), splay(o);
t[o].rev ^= 1, std::swap(t[o].lc, t[o].rc), std::swap(t[o].ls, t[o].rs);
}
inline int getrt(int o) {
access(o), splay(o);
while (pushdown(o), t[o].lc) o = t[o].lc;
return splay(o), o;
}
inline void link(int x, int y) {
mkrt(x);
if (getrt(y) != x) t[x].fa = y;
}
inline void cut(int x, int y) {
mkrt(x), access(y), splay(y);
if (t[y].lc == x && !t[x].rc) t[y].lc = t[x].fa = 0, pushup(y);
}
inline void work() {
while (m--) {
int opt, x, y, d;
read(opt), read(x), read(y);
if (opt == 1) cut(x, y);
else if (opt == 2) link(x, y);
else if (opt == 3) read(d), getrt(x) == getrt(y) && (mkrt(x), access(y), splay(y), t[y] = add_tag(t[y], d), 1);
else if (getrt(x) != getrt(y)) puts("-1");
else {
mkrt(x), access(y), splay(y);
ll sum = t[y].sum, cnt = (ll)t[y].sz * (t[y].sz + 1) / 2, p = std::__gcd(sum, cnt);
printf("%lld/%lld\n", sum / p, cnt / p);
}
}
}
inline void init() {
read(n), read(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
for (int i = 1; i <= n; ++i) t[i].v = a[i], pushup(i);
int x, y;
for (int i = 1; i < n; ++i) read(x), read(y), link(x, y);
}
int main() {
#ifdef hzhkk
freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
init();
work();
fclose(stdin), fclose(stdout);
return 0;
}
