堆排序
什么是堆
堆是一种特殊的数据结构，其本质是一棵用数组存储的一棵完全二叉树。
堆的性质
- 一个结点，对应数组元素Heap[i],其父结点为Heap[i/2]，左子结点Heap[2*i],右子结点Heap[2*i+1]。
- 一个堆中，任何一个结点必须大于或小于其子结点。大于的称大根堆，小于的称小根堆。
堆的操作
下列操作均以小根堆为例
插入
将新结点放于队尾，为了使堆的性质2成立，直接模拟即可，时间复杂度O(logn):
1. 如果当前结点大于等于父结点，或者当前节点已经是根结点，结束。
2. 否则将其与父节点交换，转1。
程序实现
1 void Put(int x) 2 { 3 int Son; 4 Heap[++Len]=x;//放于堆底 5 Son=Len; 6 while(Len!=1&Heap[Son/2]>Heap[Son]) 7 {//如果还不是根结点并且堆的性质仍然不满足 8 Swap(Heap[Son],Heap[Son/2]);//交换 9 Son/=2;//转移当前结点 10 } 11 }
删除
将堆底的结点来替换根结点，然后向下调整，时间复杂度O(logn):
1. 将堆底的结点替换根结点，标记为当前结点
2. 若当前结点比两个子结点都小，则对的性质满足，退出。若其已经是叶子结点，退出。
3. 否则去两个子结点中最小的与交换，转2。为什么要取最小的与之交换呢？因为如果取的事大的，则作为另一个子结点的父结点时，一定会大于它，不满足对的性质。
程序实现
1 int Get() 2 { 3 int re=Heap[1],Son,Fa;//存下根结点的值，以便返回 4 Heap[1]=Heap[Len];//将尾结根结点点替换 5 Len--;//删除了，肯定堆长要少一个嘛 6 Fa=1;//当前父结点， 7 while(Fa*2<=Len)//保证它有子结点 8 { 9 if(Fa*2+1>Len||Heap[Fa*2]<Heap[Fa*2+1])//选左子结点的条件是比右子结点小，或者当前父节点没有右子结点 10 Son=Fa*2; 11 else Son=Fa*2+1;//若右子结点比左子结点小，选它 12 if(Heap[Fa]>Heap[Son])//如果最小的都没当前父节点小，那就已经是一个堆了 13 { 14 Swap(Heap[Fa],Heap[Son]);//交换 15 Fa=Son;//转移 16 } 17 else //既然已经是一个堆了，直接退出 18 break; 19 } 20 return re;//返回原根结点的值 21 }
建堆
第一种方法：将每一个元素都插入堆，时间复杂度O(nlogn)
核心代码
1 for(int i=1;i<=n;++i) 2 { 3 scanf("%d",&a); 4 Put(a); 5 }
第二种方法将所有元素直接排序，则一定满足堆的性质。
核心代码
1 sort(a+1,a+n+1);
堆排序
堆的性质保证，堆的根结点一定是堆中最小的。所以，堆常用作选出最值的优化。
最典型的例子就是堆排序了。
堆排序其实是对选择排序的优化。
选择排序的思想是每一次循环都选出最小的。
选排代码
1 for(int i=1;i<=n-1;++i) 2 for(int j=i+1;j<=n;++j) 3 if(a[i]>a[j]) 4 swap(a[i],a[j]);
而堆排也是一样的。堆排利用堆的性质，每一次都输出根结点并删去，单次时间复杂度O(logn)。那么只需n次即可完成排序，代码如下：
1 #include<cstdio> 2 3 int Heap[1000001],Len; 4 5 void Swap(int &x, int &y) 6 { 7 int s=x; 8 x=y; 9 y=s; 10 } 11 12 void Put(int x) 13 { 14 int Son; 15 Heap[++Len]=x; 16 Son=Len; 17 while(Len!=1&Heap[Son/2]>Heap[Son]) 18 { 19 Swap(Heap[Son],Heap[Son/2]); 20 Son/=2; 21 } 22 } 23 24 int Get() 25 { 26 int re=Heap[1],Son,Fa; 27 Heap[1]=Heap[Len]; 28 Len--; 29 Fa=1; 30 while(Fa*2<=Len) 31 { 32 if(Fa*2+1>Len||Heap[Fa*2]<Heap[Fa*2+1]) 33 Son=Fa*2; 34 else Son=Fa*2+1; 35 if(Heap[Fa]>Heap[Son]) 36 { 37 Swap(Heap[Fa],Heap[Son]); 38 Fa=Son; 39 } 40 else 41 break; 42 } 43 return re; 44 } 45 46 int main() 47 { 48 // freopen("duipai.in","r",stdin); 49 // freopen("duipai.out","w",stdout); 50 int n,a; 51 scanf("%d",&n); 52 for(int i=1;i<=n;++i){ 53 scanf("%d",&a); 54 Put(a); 55 } 56 for(int i=1;i<=n-1;++i) 57 printf("%d ",Get()); 58 printf("%d",Get()); 59 putchar('\n'); 60 fclose(stdin);fclose(stdout); 61 return 0; 62 }
