Codeforces Round #518 (Div. 1) Computer Game 倍增+矩阵快速幂

接近于死亡的选手没有水平更博客，所以现在每五个月更一篇。

这道题呢，首先如果已经有权限升级了，那么后面肯定全部选的是 \(p_ib_i\) 最高的。

设这个值为 \(M=\max \limits_i p_ib_i\)。

主要的问题在于前面怎么选。

假设剩下的时间还有 \(t\) 秒。那么我们很容易得到一个这样的式子。

\[dp[t+1] = \max_i \{p_i \cdot (a_i+tM) + (1-p_i) \cdot dp[t]\} \]

把 \(\max\)里面的内容整理一下。

\[dp[t+1] = dp[t] + \max_i\{p_i\cdot(tM - dp[t]) + a_ip_i\} \]

如果 \(i\) 确定了，那么 \(\max\) 里面的东西就是一个关于 \(tM-dp[t]\) 的一次函数。

而把一堆一次函数取 \(max\) 显然可以通过维护这些一次函数的凸包，然后在凸包上二分 \(tM-dp[t]\) 的位置解决。

但是这样做的时间复杂度为 \(O((n+t)\log n)\)。

可巧我们有一个显然的结论就是 \(dp[t+1]-dp[t] < M\)。

那么就是说 \(tM-dp[t] < (t+1)M -dp[t+1]\)。也就是说，需要在凸包上走的东西是单调递增的。

由于凸包不超过 \(n\) 段，所以可以在每一段上做矩阵快速幂。

\[\begin{bmatrix} 1-p_i & p_iM & a_ip_i\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dp[t]\\ t\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dp[t+1]\\ t+1\\ 1 \end{bmatrix} \]

直接二分是 \(O(n(\log n + \log^2t))\) 的。可以使用倍增，\(O(n(\log n+\log t))\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b , 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b , 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I>
inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

const int N = 1e5 + 7;
const int LOG = 36;
const double eps = 1e-13;

int n, nl;
ll t;
double M;
int a[N], b[N], q[N];
double p[N];

inline int dcmp(const double &x) { return fabs(x) < eps ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }
struct Line {
	double k, b;
	inline bool operator < (const Line &a) const { return dcmp(k - a.k) < 0 || (dcmp(k - a.k) == 0 && b < a.b); }
//	inline bool operator < (const Line &a) const { return b > a.b; }
} l[N];

inline double crs(const Line &l1, const Line &l2) { return (l2.b - l1.b) / (l1.k - l2.k); }

struct Matrix {
	double a[3][3];
	inline Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
	inline Matrix(const double &x) {
		memset(a, 0, sizeof(a));
		a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = x;
	}
	
	inline void print() {
		for (int i = 0; i < 3; ++i) {
			for (int j = 0; j < 3; ++j)
				dbg("%.13lf ", a[i][j]);
			puts("");
		}
	}
	
	inline Matrix operator * (const Matrix &b) {
		Matrix c;
		c.a[0][0] = a[0][0] * b.a[0][0] + a[0][1] * b.a[1][0] + a[0][2] * b.a[2][0];
		c.a[0][1] = a[0][0] * b.a[0][1] + a[0][1] * b.a[1][1] + a[0][2] * b.a[2][1];
		c.a[0][2] = a[0][0] * b.a[0][2] + a[0][1] * b.a[1][2] + a[0][2] * b.a[2][2];
		c.a[1][0] = a[1][0] * b.a[0][0] + a[1][1] * b.a[1][0] + a[1][2] * b.a[2][0];
		c.a[1][1] = a[1][0] * b.a[0][1] + a[1][1] * b.a[1][1] + a[1][2] * b.a[2][1];
		c.a[1][2] = a[1][0] * b.a[0][2] + a[1][1] * b.a[1][2] + a[1][2] * b.a[2][2];
		c.a[2][0] = a[2][0] * b.a[0][0] + a[2][1] * b.a[1][0] + a[2][2] * b.a[2][0];
		c.a[2][1] = a[2][0] * b.a[0][1] + a[2][1] * b.a[1][1] + a[2][2] * b.a[2][1];
		c.a[2][2] = a[2][0] * b.a[0][2] + a[2][1] * b.a[1][2] + a[2][2] * b.a[2][2];
		return c;
	}
} f[LOG];

inline void ycl() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) smax(M, p[i] * b[i]), l[i] = (Line){ p[i], p[i] * a[i] };
	sort(l + 1, l + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (dcmp(l[i].k - l[nl].k)) l[++nl] = l[i]; else l[nl] = l[i];
	n = nl, nl = 1;
	q[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
//		if (dcmp(crs(l[q[nl]], l[i])) <= 0) continue;
		while (nl > 1 && dcmp(crs(l[q[nl - 1]], l[i]) - crs(l[q[nl - 1]], l[q[nl]])) <= 0) --nl;
		q[++nl] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= nl; ++i) l[i] = l[q[i]];//, dbg("Line : %.13lf %.13lf\n", l[i].k, l[i].b);
	n = nl;
//	for (int i = 1; i <= n; ++i) dbg("Line : %.13lf %.13lf\n", l[i].k, l[i].b);
//	dbg("%.13lf %.13lf\n", crs(l[1], l[4]), crs(l[1], l[3]));
}

inline void work() {
	ycl();
	
	double dp = 0;
	ll tt = 0;
	for (int i = 1; i <= n && tt < t; ++i) {
		double stp;
		if (i < n) stp = crs(l[i], l[i + 1]);
		else stp = 1e20;
		
		if (tt < t && dcmp(tt * M - dp - stp) >= 0) continue;
		
		Matrix A, B;
		A.a[0][0] = dp, A.a[1][0] = tt, A.a[2][0] = 1;
		B.a[0][0] = 1 - l[i].k, B.a[0][1] = l[i].k * M, B.a[0][2] = l[i].b;
		B.a[1][1] = 1, B.a[1][2] = 1;
		B.a[2][2] = 1;
		f[0] = B;
		for (int i = 1; i < LOG; ++i) f[i] = f[i - 1] * f[i - 1];
		
		for (int i = LOG - 1; ~i; --i) if (tt + (1ll << i) < t) {
			Matrix C = f[i] * A;
//			if (i == 1) C.print();
			if (dcmp(C.a[1][0] * M - C.a[0][0] - stp) < 0) A = C, tt += 1ll << i;
		}
		A = f[0] * A, ++tt;
		dp = A.a[0][0];
	}
	printf("%.13lf\n", dp);
}

inline void init() {
	read(n), read(t);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), read(b[i]), scanf("%lf", &p[i]);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}