HEOI2015 兔子与樱花

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Description

很久很久之前，森林里住着一群兔子。有一天，兔子们突然决定要去看樱花。兔子们所在森林里的樱花树很特殊。樱花树由\(n\)个树枝分叉点组成，编号从\(0\)到\(n-1\)，这\(n\)个分叉点由\(n-1\)个树枝连接，我们可以把它看成一个有根树结构，其中\(0\)号节点是根节点。这个树的每个节点上都会有一些樱花，其中第\(i\)个节点有\(c_i\)朵樱花。樱花树的每一个节点都有最大的载重\(m\)，对于每一个节点\(i\)，它的儿子节点的个数和i节点上樱花个数之和不能超过\(m\)，即\(son(i) + c_i \leq m\)，其中\(son(i)\)表示\(i\)的儿子的个数，如果\(i\)为叶子节点，则\(son(i) = 0\)

现在兔子们觉得樱花树上节点太多，希望去掉一些节点。当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。如果父节点也被删除，那么就会继续向上连接，直到第一个没有被删除的节点为止。

现在兔子们希望计算在不违背最大载重的情况下，最多能删除多少节点。

注意根节点不能被删除，被删除的节点不被计入载重。

Input

第一行输入两个正整数，\(n\)和\(m\)分别表示节点个数和最大载重

第二行\(n\)个整数\(c_i\)，表示第\(i\)个节点上的樱花个数

接下来\(n\)行，每行第一个数\(k_i\)表示这个节点的儿子个数，接下来\(k_i\)个整数表示这个节点儿子的编号

Output

一行一个整数，表示最多能删除多少节点。

Sample Input

10 4
0 2 2 2 4 1 0 4 1 1
3 6 2 3
1 9
1 8
1 1
0
0
2 7 4
0
1 5
0

Sample Output

4

HINT

对于\(100\%\)的数据，\(1 \leq n \leq 2000000\), \(1 \leq m \leq 100000\), \(0 \leq c_i \leq 1000\)

数据保证初始时，每个节点樱花数与儿子节点个数之和大于\(0\)且不超过\(m\)

Solution

我们的重量显然就是樱花数+子节点数。

我们现在要尽量删最多的点。

对于一个点\(x\)，它的所有子节点内能删多少点显然与\(x\)无关。那么我们现在也就只关心它的每个子节点能不能删。

于是我们可以搞出来一个新数组\(c[i]\)表示当\(i\)这个点取了最多的点时候的重量。

然后我们现在把所有子节点都按照\(c\)值从小到大排序，优先选择比较小的点删除。为什么是对的呢？可以这样考虑吧，如果有一个重量比较大的点没有选，那么事实上我们只会损失掉那个子节点的1个贡献。但是，如果我们选了重量比较小的，有可能会使得整个这个子树的根节点在其父亲那里选不了（这是也只会损失1个贡献），更有可能会使得在其父亲那里可以选（那么就很好什么贡献都不会损失），因此优先选择小的肯定不会差。

所以我们现在就是采取优先选择\(c\)值小的点的策略，一定可以得到最优解。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define REP(i,a,n) for(register int i=(a);i<=(n);++i)
#define PER(i,a,n) for(register int i=(a);i>=(n);--i)
#define FEC(i,x) for(register int i=head[x];i;i=g[i].ne)
#define dbg(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
namespace io{
	const int SIZE=(1<<21)+1;char ibuf[SIZE],*iS,*iT,obuf[SIZE],*oS=obuf,*oT=oS+SIZE-1,c,qu[55];int f,qr;
	#define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin),(iS==iT?EOF:*iS++)):*iS++)
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,oS-obuf,stdout);oS=obuf;}
	inline int getc(){return gc();}
	inline void putc(char x){*oS++=x;if(oS==oT)flush();}
	template<class I>inline void read(I &x){for(f=1,c=gc();c<'0'||c>'9';c=gc())if(c=='-')f=-1;for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=gc())x=x*10+(c&15);x*=f;}
	template<class I>inline void write(I x){if(!x)putc('0');if(x<0)putc('-'),x=-x;while(x)qu[++qr]=x%10+'0',x/=10;while(qr)putc(qu[qr--]);}
	inline void print(const char *s){while(*s!='\0')putc(*s++);}
	inline void scan(char *s){for(c=gc();c<=' ';c=gc());for(;c>' ';c=gc())*(s++)=c;*s='\0';}
	struct Flusher_{~Flusher_(){flush();}}io_flusher_;
}//orz laofudasuan
using io::read;using io::putc;using io::write;using io::print;
typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;
template<typename A,typename B>inline bool SMAX(A&x,const B&y){return x<y?x=y,1:0;}
template<typename A,typename B>inline bool SMIN(A&x,const B&y){return y<x?x=y,1:0;}

const int N=2000000+7;
int n,m,x,y,c[N],ans;
vector<int>g[N];

inline char cmp(const int&x,const int&y){return c[x]<c[y];}
inline void DFS(int x){
	int len=g[x].size(),&cnt=c[x];
	for(register int i=0;i<len;++i)DFS(g[x][i]);
	sort(g[x].begin(),g[x].end(),cmp);
	for(register int i=0;i<len;++i)if(cnt+c[g[x][i]]-1<=m){cnt+=c[g[x][i]]-1;++ans;}else break;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ4027.in","r",stdin);freopen("BZOJ4027.out","w",stdout);
#endif
	read(n),read(m);
	for(register int i=1;i<=n;++i)read(c[i]);
	for(register int i=1;i<=n;++i){
		read(x);c[i]+=x;
		for(register int j=1;j<=x;++j)read(y),g[i].push_back(y+1);
	}
	DFS(1);write(ans),putc('\n');
}