bzoj3510 首都 LCT 维护子树信息+树的重心
题目传送门
https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3510
题解
首先每一个连通块的首都根据定义，显然就是直径。
然后考虑直径的几个性质：
- 定义：删去这个点以后剩下的连通块最大的最小的点为重心。
- 一棵树最多只能有两个相邻的直径；
- 一棵树的重心到一棵树中所有点的距离和最小。（这个也是题目的条件转化为重心的原因）
- 两棵树的并的重心在两棵树各自的重心的连线上。
- 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
有了这些性质，我们可以发现，两个连通块合并的时候，新的重心离较大的连通块的重心的距离不超过较小的连通块的大小。同时，新的重心在原来的两个中心之间。
那么我们就有了重心的移动方向和移动距离限制。
所以考虑启发式合并，均摊每次暴力移动 \(O(\log n)\) 次。每次移动求出权值需要子树大小来求。动态子树大小可以用 LCT 维护子树信息实现。
因此总的时间复杂度为 \(O(m\log^2 n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;
template<typename I> inline void read(I &x) {
int f = 0, c;
while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
x = c & 15;
while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
f ? x = -x : 0;
}
const int N = 100000 + 7;
#define lc c[0]
#define rc c[1]
int n, m;
int sum;
struct Node { int c[2], s, sum, siz, fa, rev; } t[N];
int st[N];
inline bool idtfy(int o) { return t[t[o].fa].rc == o; }
inline bool isroot(int o) { return t[t[o].fa].lc != o && t[t[o].fa].rc != o; }
inline void connect(int fa, int o, int d) { t[fa].c[d] = o, t[o].fa = fa; }
inline void pushup(int o) {
t[o].s = t[t[o].lc].s + t[t[o].rc].s + 1;
t[o].siz = t[t[o].lc].siz + t[t[o].rc].siz + t[o].sum + 1;
}
inline void pushdown(int o) {
if (!t[o].rev) return;
if (t[o].lc) t[t[o].lc].rev ^= 1, std::swap(t[t[o].lc].lc, t[t[o].lc].rc);
if (t[o].rc) t[t[o].rc].rev ^= 1, std::swap(t[t[o].rc].lc, t[t[o].rc].rc);
t[o].rev = 0;
}
inline void rotate(int o) {
int fa = t[o].fa, pa = t[fa].fa, d1 = idtfy(o), d2 = idtfy(fa), b = t[o].c[d1 ^ 1];
if (!isroot(fa)) t[pa].c[d2] = o; t[o].fa = pa;
connect(o, fa, d1 ^ 1), connect(fa, b, d1);
pushup(fa), pushup(o);
}
inline void splay(int o) {
int x = o, tp = 0;
st[++tp] = x;
while (!isroot(x)) st[++tp] = x = t[x].fa;
while (tp) pushdown(st[tp--]);
while (!isroot(o)) {
int fa = t[o].fa;
if (isroot(fa)) rotate(o);
else if (idtfy(o) == idtfy(fa)) rotate(fa), rotate(o);
else rotate(o), rotate(o);
}
}
inline void access(int o) {
for (int x = 0; o; o = t[x = o].fa) {
splay(o);
t[o].sum += t[t[o].rc].siz;
t[o].sum -= t[x].siz;
t[o].rc = x;
pushup(o);
}
}
inline void mkrt(int x) {
access(x), splay(x);
t[x].rev ^= 1, std::swap(t[x].lc, t[x].rc);
}
inline int getrt(int x) {
access(x), splay(x);
while (pushdown(x), t[x].lc) x = t[x].lc;
splay(x);
return x;
}
inline void link(int x, int y) {
mkrt(x);
if (getrt(y) != x) {
access(y), splay(y);
t[x].fa = y, t[y].sum += t[x].siz, pushup(y);
}
}
inline int dfs(int x, int sz, int &rt) {
if (!x) return 0;
pushdown(x);
if (dfs(t[x].lc, sz, rt)) return 1;
splay(x), pushdown(x);
if ((t[x].sum + t[t[x].rc].siz + 1) * 2 > sz || ((t[x].sum + t[t[x].rc].siz + 1) * 2 == sz && x < rt)) rt = x;
else return 1;
if (dfs(t[x].rc, sz, rt)) return 1;
return 0;
}
inline void work() {
while (m--) {
char opt[7];
int x, y;
scanf("%s", opt);
if (*opt == 'X') printf("%d\n", sum);
else if (*opt == 'Q') read(x), printf("%d\n", getrt(x));
else {
read(x), read(y);
int px = getrt(x), py = getrt(y), rt;
sum ^= px, sum ^= py;
if (t[px].siz > t[py].siz || (t[px].siz == t[py].siz && px > py)) std::swap(x, y), std::swap(px, py);
link(x, y), x = px, y = py;
access(x), splay(y);
dfs(y, t[y].siz, rt);
mkrt(rt), sum ^= rt;
}
}
}
inline void init() {
read(n), read(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) sum ^= i, t[i].s = t[i].siz = 1;
}
int main() {
#ifdef hzhkk
freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
init();
work();
fclose(stdin), fclose(stdout);
return 0;
}
