杂题记录

CF1251F Red-White Fence

题解：发现红色的板子很少，枚举每一个红板子分别做，对于只有一个不重复的合法白板子，记总共有\(c1\)个，那么得到宽度为\(k\)的先上升后下降序列有\(2^{k}\binom{c_1}{k}\)，而对于出现重复超过2个的白板子，都可看作只出现了2次，记总共有\(c2\)个，那么得到宽度为\(k\)的先上升后下降序列有\(\binom{2c_2}{k}\)，答案数列就是\(\sum_{i=0}^{n}2^{i}\binom{c_1}{i}\)和\(\sum_{i=0}^{n}\binom{2c_2}{i}\)的卷积后多项式的系数。复杂度\(O(nlogn)\)
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付公主的背包

题解：对于每一个物品都有无限个，假设一个物品的体积为\(V\)，其对应的生成函数为\(\frac{1}{1-z^V}\)，那么答案数列的生成函数就是\(\prod\frac{1}{1-z^V}\)。可以先考虑分母里的式子，再最后多项式求逆回去。发现如果直接做复杂度很高，可以将乘法通过\(e\)转化为加法，问题是如何快速计算\(ln(1-z^V)\)的值。设\(F(z)=1-z^V\)

\[G(z)=lnF(z) \]

\[G'(z)=\frac{F'(z)}{F(z)} \]

\[G'(z)=\frac{-Vz^{V-1}}{1-z^V} \]

\[G'(z)=-\sum_{i>=0}Vz^{V-1+Vi} \]

\[G(z)=-\sum_{i>=0}\frac{Vz^{V+Vi}}{V+Vi} \]

\[G(z)=-\sum_{i>=1}\frac{z^{Vi}}{i} \]

推到这里，我们可以枚举每一个物品，在\(O(nlogn)\)的时间里算出\(\prod G(z)\)的系数，再做一次\(EXP\)，最后多项式求逆回去就是答案。注意要将重复的物品用桶记下来一起做。
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