分块笔记-根号平衡

利用分块结构，我们可以进行根号平衡，在特殊的情况下可以优化复杂度，如平衡修改和查询的复杂度

\(O(\sqrt{N})\)单点修改，\(O(1)\)查询区间和

• 首先思考\(O(N)\)单点查询\(O(1)\)查询区间和（这是重要的思考方式），我们可以维护一个前缀和数组
• 同样的，在块内，快外分别维护前缀和，每次修改更新\(\sqrt{N}\)个前缀和，每次查询就把块内快外的前缀和加起来就行了

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\(O(1)\)单点修改，\(O(\sqrt{N})\)查询区间和

• 维护块内和，每次修改块内和和该位置的值

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\(O(\sqrt{N})\)区间加，\(O(1)\)查询单点值

• 直接分块，在块上大区间加标记

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\(O(1)\)区间加，\(O(\sqrt{N})\)查单点

• 维护差分数组即可

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\(O(1)\)插入一个数，\(O(\sqrt{N})\)查询第k小

• 值域分块，维护区间加

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\(O(\sqrt{N})\)插入一个数，\(O(1)\)查询第k小

• 仍然用值域分块，维护每个数在那个位置，保证每个块内为\(\sqrt{N}\)个元素（最后一个除外）并有序
• 每次查询修改\(\sqrt{N}\)个值的所在块
• 查询时定位位置即可