数据结构学习笔记(时间复杂度分析）
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数据结构学习笔记
数据结构
栈(stack)
- 栈是一种后进先出的线性数据结构
- 支持\(push(x)\)将x插入栈顶，\(pop(x)\)将栈顶元素出栈，\(gettop(x)\)取出栈顶
- 时间复杂度都为\(O(1)\)
- 常用的应用有 计算表达式，单调栈，维护操作方便撤销
队列(queue)
- 队列是一种先进先出的线性数据结构
- 支持\(push(x)\)将x插入队列尾，\(pop(x)\)将队列首出队列，\(getfrong(x)\)取出队列首
- 时间复杂度都为\(O(1)\)
- 常用的应用有 bfs，spfa，优先队列，双端队列，单调队列，循环队列
链表
- 链表是一种插入方便而难以查询某一特定的值的线性数据结构，与数组结构互补
- 其中\(insert(x)\)在特定位置插入一个值,\(erase(x)\)在特定位置删除一个值，时间复杂度为\(O(1)\)
- \(find(x)\)查找一个值x，复杂度为\(O(N)\)
- 常用的应用有 邻接表
二叉堆(heap)
- 二叉堆是一种有堆性质的完全二叉树，故支持查找最值，深度为\(\log{N}\)
- 其中\(up(x)\)把x节点向上调整，\(down(x)\)把节点x向下调整,复杂度与深度有关，故均为\(O(\log{N})\)
- 常用的应用有 维护动态最值，优化dijkstra、spfa
哈夫曼树
Trie、01Trie
- Trie是用于字符串快速检索的多叉树，每个节点维护一个字符，同时一般还要维护每个节点是否为字符串结尾
- 支持\(insert(str)\)将一个字符串插入Trie,\(search(str)\)查询一个串是否存在，因为是每一位去储存或遍历，时间复杂度均为\(O(|str|)\)
- 空间复杂度为\(O(NC)\)C为字符集大小
- 其中若我们将每个数变为二进制串存在Trie中，可以得到一个01Trie
- 常用的应用有 字符串检索，前缀检索，前缀统计，字符串DP，计算异或最大值
可并堆（左偏树）
- 左偏树是一种支持合并操作的具有堆性质的二叉树
- 外节点指一个左儿子为空或右儿子为空的节点
- 定义每个节点的dist为后代中离他最近的外节点到其的距离，空节点dist为-1
- 其中我们让一个每一个节点左儿子的dist大于右儿子，使结构左偏，故一个节点的dist为其右儿子dist+1
- \(h=Merge(h1,h2)\)即合并操作，先比较两个堆的最值，小的堆顶为新的顶，再递归子树与堆顶大的堆合并，
- 考虑到每次回减少一半节点，合并操作复杂度为\(O(\log{N})\)
- 在建树的时候可以先1-1合并，再2-2合并，再4-4合并....复杂度为\(O(N)\)
- 常见应用有 维护可合并集合的最值
并查集
- 维护集合的利器，但不支持分裂（按秩合并后利用栈维护操作和支持撤销）
- 每个节点维护其集合中的一个元素，呈树形结构，故会有一个代表元素
- 路径压缩即在找代表元素后，将此次查找到的节点都指向代表元素，\(find(x)\)找到集合代表元素，复杂度均摊为\(O(\log{N})\)
- 另一个常用的优化为按秩合并（启发式合并），将秩小的集合合并到秩大的集合，\(find(x)\)复杂度均摊也为\(O(\log{N})\)
- 如果两个一起用则\(find(x)\)为\(O(\alpha{N})\),其中\(\alpha\)为反阿克曼函数
- 若树的结构需考虑，则不适用路径压缩
- 带权并查集指每个节点维护一个权值，在压缩路径时压缩这个值，维护一些额外的信息
- 扩展域并查集指维护每个节点的对立集合，如储存敌人，则敌人的敌人为朋友
- 常用的应用有 带权并查集，扩展域并查集，维护静态连通性，输出方案时记录fa
st表
树状数组
- 基于二进制拆分的树形结构，\(c[x]\)表示a序列\(\sum_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}{a[i]}\)
- 通常维护一个前缀信息
- 因为是二进制拆分，求前缀和和单点修改复杂度为\(O(\log{N})\)
- 考虑其树结构，x的父节点为\(x+lowbit(x)\)，故可以在建树的时候将\(c[x]\)加到\(c[x+lowbit(x)]\)上，实现\(O(N)\)建树
- 常用应用有 求逆序对，求区间和、前缀、后缀，二维数据结构，离线做法
线段树
- 线段树是一种基于序列分治的leay tree结构
- 常用的应用有 区间操作（+,-,xor,*,赋值,取相反数,取min,取max），维护区间（最大字段和,max,sum,min,乘积和,gcd,历史最大值）、线段树合并分裂、线段树分治、动态开点、权值线段树、二维线段树、主席树、动态开点、扫描线、树剖
块状链表
平衡树（splay，treap，非旋treap，笛卡尔树)
- 二叉树BST性质指的是一个节点的权值大于左子节点的权值，小于右子节点的权值
- 二叉搜索树即为有BST性质的二叉树，方便支持查询sub，pre，val，rank和insert，erase操作
- 但由于特殊数据会使其复杂度退化如链，故要用一些平衡操作使其期望或均摊复杂度更优
- 常见操作有旋转、重构、特殊性质如堆性质等
- 基于\(rotate\)的平衡树：splay、treap
- 基于分裂合并的平衡树：非旋treap
- 基于重构的平衡树：替罪羊树
- 常用维护区间的平衡树：非旋treap，splay
- 其中有堆性质的平衡树可用笛卡尔建树，复杂度基于堆性质，期望\(O(\log{N})\)，splay利用其\(splay(x,goal)\)操作，均摊复杂度也为\(O(\log{N})\),证明要用到势能分析，略去
link cut trees
- LCT是用来维护一个动态森林连通性的结构，支持link和cut
- 主要思想是利用实链剖分，将每个实链用一个splay维护，同时在splay中权值为在原树中的深度，值得注意的是每个节点的父节点
- 对于一个splay中的点，并不直接维护原树的父亲，而splay根的父节点为splay中dep最小的点的父节点
- 最主要的有\(access(x),makeroot(x),findroot(x),link(x,y),cut(x,y)\)等操作
- 主要基于\(access(x)\)操作即访问x节点，并将根节点（原树中）到x的路径变为重链，并x与root在同一splay中，单次均摊复杂度为\(O(\log{N})\)
- 应用有动态连通性，动态维护最小生成树，求LCA
思想
分治（cdq，整体二分，点分治，边分治）
- CDQ
- cdq分治在二维上的最常用的应用是归并排序
- cdq分治即用其分治的框架来将整个问题分开，分为两个子问题
- 并在做好了每个子问题后，计算跨过分治重心的对答案的贡献
- 利用sort（第一维）、cdq分治、数据结构维护（最后一维）可以解决多维偏序问题
- 其中，利用cdq分治套cdq分治套cdq分治...可以解决k维偏序问题，只要每一维分治的同时排序（类似归并），到下一维前要统计每一个数在前面每一维所在左边还是右边，在最后一维统计答案即可
- 故cdq本质即利用其分治框架，降维，而一些题中利用CDQ分治将动态问题变为静态问题就是将时间轴这一维降维了（在操作序列上分治，必须离线）
- 整体二分
- 整体二分简单应用就是利用在值域上二分答案，将操作序列分治，求解区间kth，可支持修改
- 其思想就是在答案值域上二分，考虑判定一些问题答案一定在一边（或操作只对一边的数会有影响），将整个问题分为子问题
- 点分治
