动态规划专题--容斥原理--codeforces-285E Positions in Permutations
codeforces-285E \(Positions \ in \ Permutations\)
题意
给定一个序列长度为 \(n\) 的序列 , \(A=\{1 \dots n\}\)
对于 \(A\) 的排列 \(P\) , 位置 \(i\) 的值为 \(p_i\) , 定义这个点为好的满足以下条件：
\[|p_i - i| = 1
\]
即 \(p_i = i + 1 \ or \ i - 1\)
问对于 \(A\) 的排列中恰好有 \(K\) 个好点的排列数。
\(k \le n \le 1000\) .
题解
定义 \(dp_{i , j , l_{(2)} , k_{(2)}}\) 为长度为 \(i\) , 有 \(j\) 个点已经被挑出作为好点的 \(\bf{取法}\) ( 或者理解为至少有 \(j\) 个好点 ) , \(l\) 表示 \(i\) 是否被选 , \(k\) 表示 \(i + 1\) 是否被选.
我们可以获得如下转移方程：
dp[i][j][0][0] = ( dp[i][j][0][0] + dp[i - 1][j][0][0] + dp[i - 1][j][1][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][0] = ( dp[i][j][1][0] + dp[i - 1][j][0][1] + dp[i - 1][j][1][1] ) % mod ;
if ( j ) {
dp[i][j][0][0] = ( dp[i][j][0][0] + dp[i - 1][j - 1][0][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][0] = ( dp[i][j][1][0] + dp[i - 1][j - 1][0][1] ) % mod ;
if( i != n ) {
dp[i][j][0][1] = ( dp[i][j][0][1] + dp[i - 1][j - 1][1][0] + dp[i - 1][j - 1][0][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][1] = ( dp[i][j][1][1] + dp[i - 1][j - 1][1][1] + dp[i - 1][j - 1][0][1] ) % mod ;
}
}
解释一下：
当 \(i\) 位置不选时 , 考虑得到：
\[dp_{i , j , 0 , 0} += dp_{i - 1 , j , 1 , 0} + dp_{i - 1 , j , 0 , 0}
\]
\[dp_{i , j , 1 , 0} += dp_{i - 1 , j , 0 , 1} + dp_{i - 1 , j , 1 , 1}
\]
当 \(i\) 位置选 \(i - 1\) :
\[dp_{i , j , 1 , 0} += dp_{i - 1 , j - 1 , 0 , 0}
\]
\[dp_{i , j , 1 , 1} += dp_{i - 1 , j - 1 , 0 , 1}
\]
当 \(i\) 位置选 \(i + 1\) :
\[dp_{i , j , 0 , 1} += dp_{i - 1 , j - 1 , 0 , 0} + dp_{i - 1 , j - 1 , 1 , 0}
\]
\[dp_{i , j , 1 , 1} += dp_{i - 1 , j - 1 , 0 , 1} + dp_{i - 1 , j - 1 , 1 , 1}
\]
仔细思考易得其正确性。
设一个 \(ans_i\) 表示长度为 \(n\) , 有至少 \(i\) 个好点排列数,易得:
\[ans_i = dp_{n , i , 0 , 0} + dp_{n , i , 1 , 0} \times (n - i)!
\]
易得最后答案为:
\[answer = \sum^{n}_{i = K}(-1)^{i - K} \times C^{K}_{i} \times ans_i
\]
code
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std ;
const int N = 1e3 + 10 ;
const int mod = 1e9 + 7 ;
int n , m , K ;
int dp[N][N][2][2] , ans[N] , answer ;
inline int read() {
int x = 0 , f = 1 ;
char c = getchar() ;
while ( c < '0' || c > '9' ) {
if ( c == '-' ) f = -f ;
c = getchar() ;
}
while ( c >= '0' && c <= '9' ) {
x = x * 10 + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
return x * f ;
}
namespace Combination {
int D[N] ; int nueyong[N] , sum_neo[N] , sum[N] ;
inline void lear_neoyong() {
sum_neo[0] = sum_neo[1] = 1 ;
nueyong[1] = 1 ; nueyong[0] = 1 ;
sum[0] = sum[1] = 1 ;
for( int i = 2 ; i < N ; ++ i ) {
int p = mod ;
int k = p / i ;
nueyong[i] = ( k * ( p - nueyong[p % i] ) ) % p ;
sum_neo[i] = ( nueyong[i] * sum_neo[i - 1] ) % p ;
sum[i] = ( i * sum[i - 1] ) % p ;
}
}
int Quick_Pow( int alpha , int beta ) {
int ans = 1 ;
while ( beta > 0 ) {
if( beta & 1 ) ans = ( ans * alpha ) % mod ;
beta >>= 1 ; alpha = ( alpha * alpha ) % mod ;
}
return ans ;
}
int Regular_C_of_Pow_Class( int n , int m ) {
int alpha = 1 , beta = 1 , rereturn = 0 ;
if( m <= n && n >= 0 && m >= 0 ) {
for( int i = n - m + 1 ; i <= n ; ++ i ) {
alpha = ( alpha * i ) % mod ;
}
for( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) {
beta = ( beta * i ) % mod ;
}
rereturn = ( alpha * Quick_Pow( beta , mod - 2 ) ) % mod ;
return rereturn ;
}
else return 0 ;
}
inline int jc( int x ) {
return sum[x] ;
}
inline int neo_jc( int x ) {
if ( x == 0 ) return 1 ;
return sum_neo[x] ;
}
int Regular_C_of_Inv( int n , int m ) {
return ( ( ( jc( n ) * neo_jc( n - m ) ) % mod ) * neo_jc( m ) ) % mod ;
}
int C_Lucas_Using_Inv( int n , int m ) {
if ( m > n ) return 0 ;
if ( m == 0 ) return 1 ;
return ( Regular_C_of_Inv( n % mod , m % mod ) * C_Lucas_Using_Inv( n / mod , m / mod ) ) % mod ;
}
int C_Lucas_Using_Pow( int n , int m ) {
if( m == 0 ) return 1 ;
return ( Regular_C_of_Pow_Class( n % mod , m % mod ) * C_Lucas_Using_Pow( n / mod , m / mod ) ) % mod ;
}
void Asking_for_Derangement() {
D[0] = 1 ;
D[1] = 0 ;
D[2] = 1 ;
for( int i = 3 ; i < N ; ++ i ) {
D[i] = ( i - 1 ) * ( D[i - 1] + D[i - 2] ) % mod ;
}
}
int Regular_A( int n , int m ) {
return ( jc( n ) * neo_jc( n - m ) ) % mod ;
}
inline void Cleared() {
memset( D , 0 , sizeof(D) ) ;
memset( sum_neo , 0 , sizeof(sum_neo) ) ;
memset( sum , 0 , sizeof(sum) ) ;
memset( nueyong , 0 , sizeof(nueyong) ) ;
}
} ;
using namespace Combination ;
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen( "1.in" , "r" , stdin ) ;
freopen( "1.out", "w" ,stdout ) ;
#endif
n = read() , K = read() ;
lear_neoyong() ;
dp[1][0][0][0] = 1 ; dp[1][1][0][1] = 1 ;
for ( int i = 2 ; i <= n ; ++ i ) {
for ( int j = 0 ; j <= n ; ++ j ) {
dp[i][j][0][0] = ( dp[i][j][0][0] + dp[i - 1][j][0][0] + dp[i - 1][j][1][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][0] = ( dp[i][j][1][0] + dp[i - 1][j][0][1] + dp[i - 1][j][1][1] ) % mod ;
if ( j ) {
dp[i][j][0][0] = ( dp[i][j][0][0] + dp[i - 1][j - 1][0][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][0] = ( dp[i][j][1][0] + dp[i - 1][j - 1][0][1] ) % mod ;
if( i != n ) {
dp[i][j][0][1] = ( dp[i][j][0][1] + dp[i - 1][j - 1][1][0] + dp[i - 1][j - 1][0][0] ) % mod ;
dp[i][j][1][1] = ( dp[i][j][1][1] + dp[i - 1][j - 1][1][1] + dp[i - 1][j - 1][0][1] ) % mod ;
}
}
}
}
for ( int i = 0 ; i <= n ; ++ i ) {
ans[i] = ( jc( n - i ) * ( dp[n][i][0][0] + dp[n][i][1][0] ) ) % mod ;
// cout << i << ' ' << ans[i] << '\n' ;
}
int f = - 1 ;
for ( int i = K ; i <= n ; ++ i ) {
f = -f ;
answer = ( answer + ( ( ( f * ( ans[i] * C_Lucas_Using_Inv( i , K ) ) % mod ) % mod + mod ) % mod ) % mod ) % mod ;
}
cout << answer << '\n' ;
}
