卡农 -- HNOI2011 -- DP&组合
卡农 -- \(HNOI2011\)
题意
给定一个 集合 $ A= { 1 \le x \le n | x } $ , 求出其 \(m\) 个不相同的且不为空集的子集,使得第 \(i\) 个元素的在所有选出的子集中出现的次数 \(appear_i \mod 2 = 0\)
题解
首先一个已知结论：
对于一个 \(A\) 这样的集合，他不同的子集个数为 \(2^n\)
那么这时我们减去空集，那么可选的为 \(2^n - 1\) 种。
你影响你最后的每个元素的出现次数的是第 \(m\) 次的选择。
若第 \(i\) 个数在前 \(m - 1\) 个子集中出现的次数为奇数，那么 \(i\) 在最后一个中必定出现。
反之就不会出现。
所以 前 \(m - 1\) 个怎么取值都行。
考虑此时 \(ans_m\) 为 \(m\) 个子集满足条件的方案数。
不考虑什么奇偶，前 \(m - 1\) 个能选的总方案数为 ：
\[ans_m += C^{ m - 1 }_{2 ^ n - 1}
\]
第一种情况：若 \(1 \dots n\) 在前 \(m - 1\) 个子集中出现的次数均为偶数，则此时末尾为空集，显然不可取，所以：
\[ans_m -= ans_{m - 1}
\]
第二种情况：若所有出现次数为奇数的数构成的集合 \(B\) 已经被选入，则:
\[ans_m -= (2 ^ n - 1 - (m - 2)) \times ans_{m - 2}
\]
解释一下：
那么我们可以看做就是最后一个集合 \(=\) 第 \(m - 1\) 个集合
那前 \(m - 2\) 个肯定是符合要求的。那肯定前 \(m - 2\) 个是不重叠的那这个重叠的集合的取值种数为 $2 ^ n - 1 - (m - 1) $
最后的处理，现在定义 \(n = 2, m = 3\)
那对于这三种选法，会算成三种，但实际是一种
\[\{1\} , \{2\} , \{1 , 2\}
\]
\[\{1\} , \{1 , 2\} , \{2\}
\]
\[\{2\} , \{1 , 2\} , \{1\}
\]
注意对于前面 $ 2 $ 个集合的来说它的选择的顺序是没关系的。算成三种的原因只是因为最后的一个集合的抠出来的值不同。
所以再除以一个 $ m $
所以 \(DP\) 转移方程为：
\[dp_i = C ^ {i - 1} _ {2 ^ n - 1} - dp_{i - 1} - dp_{i - 2} \times ( 2 ^ n - 1 - ( m - 2 ) )
\]
\(code\)
格式化过的
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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std ;
const int N = 1e6 + 1 ;
int dp[ N ], C[ N ] ;
const long long mod = 1e8 + 7 ;
namespace Combination {
int nueyong[ N ], sum_neo[ N ] ;
inline void lear_neoyong() {
sum_neo[ 0 ] = sum_neo[ 1 ] = 1 ;
nueyong[ 1 ] = 1 ;
nueyong[ 0 ] = 1 ;
// sum[ 0 ] = sum[ 1 ] = 1 ;
for (int i = 2 ; i < N ; ++ i) {
int p = mod ;
int k = p / i ;
nueyong[ i ] = (k * (p - nueyong[ p % i ])) % p ;
sum_neo[ i ] = (nueyong[ i ] * sum_neo[ i - 1 ]) % p ;
// sum[ i ] = ( i * sum[ i - 1 ] ) % p ;
}
}
int Quick_Pow(int alpha, int beta) {
int ans = 1 ;
while (beta > 0) {
if (beta & 1)
ans = (ans * alpha) % mod ;
beta >>= 1 ;
alpha = (alpha * alpha) % mod ;
}
return ans ;
}
} ;
using namespace Combination ;
inline int read() {
int x = 0, f = 1 ;
char c = getchar() ;
while (c < '0' || c > '9') {
if (c == '-') {
f = - f ;
}
c = getchar() ;
}
while (c >= '0' && c <= '9') {
x = x * 10 + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
return x * f ;
}
int n, m, all_time, koul ;
signed main() {
n = read() ;
m = read() ;
lear_neoyong() ;
all_time = (((Quick_Pow(2, n) - 1) % mod) + mod) % mod ;
C[ 0 ] = 1 ;
int tot = all_time ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
C[ i ] = (C[ i - 1 ] * ((tot + mod) % mod)) % mod ;
tot -- ;
}
dp[ 2 ] = dp[ 1 ] = 0 ;
for (int i = 3 ; i <= m ; ++ i) {
int pri = (C[ i - 1 ] * sum_neo[ i - 1 ]) % mod ;
dp[ i ] = ((((pri - dp[ i - 1 ]) - ((dp[ i - 2 ] * ((all_time - i + 2) % mod + mod) % mod) % mod) + mod) %
mod) * nueyong[ i ]) % mod ;
}
cout << dp[ m ] ;
}
