行秩与列秩

前置定理 1 : 初等行变换不改变矩阵的行秩。

前置定理 2 : 初等行变换不改变矩阵的列秩。

前置定理3 : $n$ 维向量空间中的线性无关向量组，其所含向量不超过 $n$ 个。

李尚志老师在讲解这部分时，没有做必要的说明，介绍完行秩与列秩，在例题中求了一个矩阵的行秩与列秩，就开始证相等。这样的处理应该说是不太流畅的，本来我也想这个地方不计较太多，看明白证明就过去了，但这里的证明又是用了讨厌的阶梯形矩阵，让人感受不到任何理解上的帮助，让人“口服”而不“心服”。

这里在絮叨一点，这个“口服”与“心服”，前者指逻辑上同意，后者指主观上认可。有点像打辩论赛时，不仅打赢，而且改变了对方的观点。我认为我们学习时（或者在讲授时），应当追求“口服”且“心服”的结果，单有前者，则是只看到事实，却没有对自己的观念产生影响；单有后者，则容易走向不牢靠的主观结论。

我先去翻翻其他课本，看看有没有我喜欢的证明。很遗憾，省图里适合参考的书只有蓝以中老师那本，他也是用的阶梯形矩阵；Linear Algebra Done Right 用的线性映射，不适合放在这里。

于是我开始尝试自己能不能找到别的证明。我发现，无论是讲解还是证明，相比于我理想的状态，都缺失了一个概念——列秩，我们在还没弄明白列秩是什么的时候就开始证明它与行秩相等了，这是很割裂的。后来我在对列秩的理解的基础上，结合前面做的一个练习题，想出了第一个证明。在这个证明中，我还是采用了线性方程组作为背景，此时行秩的意义是“有效方程”，这是所有书都会讲的，但我发现这时的列秩，也有很直观的意义——“有效未知量”。

证明1

我们从矩阵的行向量的线性相关性判定入手。

设矩阵 $A^{m\times n}$ 的行向量组 $\vec R = {\vec r_1,\dots,\vec r_m}$ ，列向量 $\vec C = {\vec c_1,\dots,\vec c_n}$ 。

设方程 $x_1\vec r_1+\dots+x_m\vec r_m = \vec 0$ ，即

\begin{matrix} (1) & A^{T} \vec{x} = \vec{0} \end{matrix}

$A^T \vec x = \vec 0 \tag 1$

若齐次线性方程组(1) 有且仅有零解，则 $A$ 的行向量线性无关。

即：若 $\text{row rank}(A^T) = m$ 则 $\text{row rank}(A) = m$ 。

若齐次线性方程组(1) 有非零解，则 $A$ 的行向量线性相关。

即：若 $\text{row rank}(A^T) < m$ 则 $\text{row rank}(A) < m$ 。

首先， $\text{row rank}(A^T)$ 不可能比 $m$ 大。又因为 $\text{row rank}(A^T) = \text{col rank}(A)$ ，所以我们可以说，当矩阵的行向量组线性无关时，其行秩与列秩相等。

同时，我们注意到，任何一个矩阵 $A$ ，总有行向量线性无关的矩阵 $B$ 与之等价，即可通过初等行变换得到。又因为行变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以 $\text{row rank}(A) = \text{row rank}(B)$ ， $\text{col rank}(A) = \text{col rank}(B)$ ，而 $\text{row rank}(B) = \text{col rank}(B)$ ，所以矩阵 $A$ 的行秩与列秩相等。QED

为了看到更普遍的情形，我们将背景由线性方程组换成矩阵。没有了杂乱的未知量与运算符号的干扰，再加上有“转置”这样的操作，面对一个简单的矩形数表，我们可以感觉到行秩与列秩之间，现在只隔着一层薄薄的纱，而向量空间维度与向量长度的关系，将为我们捅破它。

证明2

设矩阵 $A^{m\times n}$ 。

若 $\text{row rank}(A) = j\leq m$ ，则其等价于线性无关的 $A^{j\times n}_1$ ，定理3 告诉我们。若，则定理3 告诉我们 $\text{row rank}(A_1)<j$ ，而 $\text{row rank}(A) =\text{row rank}(A_1)$ ，这将导致矛盾。故而必然有$\text{col rank}(A_1) = j = \text{col rank}(A_1) $，进而得到矩阵$ A$ 的行秩与列秩相等。QED