6.1 线性映射

前面我们从矩阵乘法出发定义了线性映射，现在来尝试为线性映射对应矩阵（最好是唯一的）。如果能建立这样的等价关系，则一方面，对抽象的矩阵乘法，我们可以用映射去理解它；另一方面，对于任何线性映射，我们都可以用矩阵完全涵盖它的性质——毕竟相比于映射中各种各样的描述，矩阵是更“标准”的性质（毕竟只由规格和具体位置的元素组成）。这将为我们的研究带来极大的方便。

我们从线性性质出发定义线性映射： $m,n$ 维线性空间 $U,V$ ，如果映射 $\mathscr{A}:U\rightarrow V$ 具有以下线性性质

A (u_{1} + u_{2}) = A (u_{1}) + A (u_{2}), A (λ \cdot u_{1}) = λ \cdot A (u_{1}),

$\mathscr{A}(u_1+u_2) = \mathscr{A}(u_1) + \mathscr{A}(u_2),\\ \mathscr{A}(\lambda\cdot u_1) = \lambda\cdot\mathscr{A}(u_1),$

则称映射 $\mathscr{A}$ 为线性映射 linear mapping，当 $U=V$ 时称为线性变换 linear transformation。

正如在解析几何中那样，坐标是联系几何与代数的有力工具，在有限维线性空间中，我们也为向量定义坐标。 $m$ 维线性空间 $U$ ，基 $M_1 = \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}$ ，向量 $U\ni \alpha = a_1\alpha_1+ a_2\alpha_2+ \cdots a_m\alpha_m$ ，在基下的线性表示的系数 $(a_1, a_2, \cdots ,a_m)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 $M_1$ 下的坐标 coordinate。

有了坐标，我们可以开始着手探索线性映射 $\mathscr{A}:U\rightarrow V$ 的矩阵。为了表达方便，我们分别为的基定义从向量到坐标的映射$\sigma_1:\alpha \mapsto $\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_m \end{bmatrix}$ ^T \sigma_2:\beta \mapsto $\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$ ^T $，可以验证，二者也是线性映射。对于$ U$ 中的任意向量 $\alpha$ ，我们来观察它的坐标经历 $\mathscr{A}$ 后发生了什么变化：（为了方便，我们将基当作行向量进行运算）

\begin{aligned} A (α) & = A (σ_{1} (α) M_{1}) \\ = A (a_{1} α_{1} + a_{2} α_{2} + \dots a_{m} α_{m}) \\ = a_{1} A (α_{1}) + a_{2} A (α_{2}) + \dots + a_{m} A (α_{m}) \\ = a_{1} σ_{2} (A (α_{1})) M_{2} + a_{2} σ_{2} (A (α_{2})) M_{2} \\ + \dots + a_{m} σ_{2} (A (α_{m})) M_{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathscr{A}(\alpha) &= \mathscr{A}(\sigma_1(\alpha)M_1) \\ &= \mathscr{A}(a_1\alpha_1+ a_2\alpha_2+ \cdots a_m \alpha_m) \\ &= a_1\mathscr{A}(\alpha_1) + a_2\mathscr{A}(\alpha_2) + \cdots + a_m\mathscr{A}(\alpha_m)\\ &= a_1\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1))M_2 + a_2\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2))M_2 \\ &+ \cdots + a_m\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m))M_2 \end{aligned}$

最后得到的

a_{1} σ_{2} (A (α_{1})) + a_{2} σ_{2} (A (α_{2})) + \dots + a_{n} σ_{2} (A (α_{m}))

$a_1\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1)) + a_2\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2)) + \cdots + a_n\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m))$

即为向量 $\alpha$ 的像基 $M_2$ 下的坐标，但这个形式看起来还是很繁琐，我们把它写成矩阵的形式

σ_{2} (A (α)) = σ_{1} (α) \cdot [\begin{matrix} σ_{2} (A (α_{1})) & σ_{2} (A (α_{2})) & \dots & σ_{2} (A (α_{m})) \end{matrix}]

$\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha)) = \sigma_1(\alpha)\cdot \begin{bmatrix} \sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1)) &\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2)) &\cdots &\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m)) \end{bmatrix}$

我们称右边的矩阵为 $\mathscr{A}$ 在基 $M_1,M_2$ 下的矩阵。