6.0 线性变换的几何性质

这里我忍不住要啰嗦几句，我也算是学了几个月的线性变换了，但若不是李尚志老师这本书，我恐怕只会停留在比划比划模糊的性质，而真的想不到去琢磨一下线性变换的几何意义。尽管令人沮丧，不过还好也是慢慢地在改善嘛。

1.线性变换下图形的不变性

我们已经知道，平面直角坐标系上的旋转、轴（过原点）对称等变换可以通过矩阵乘法表示，

A = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}], B = [\begin{matrix} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{matrix}],

$A = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos \alpha \end{bmatrix},\space B= \begin{bmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{bmatrix},$

这两种变换有十分好的性质：变换前后，图形全等，改变的仅仅是位置。

我们将这种可以用矩阵表示的映射称为线性映射 linear mapping，当定义域与陪域相等时，称为线性变换 linear transformation。之所以称为“线性”，当然是因为矩阵乘法具有良好的线性性质：

A (X_{1} + X_{2}) = A X_{1} + A X_{2}; A (λ \cdot X) = λ \cdot A X .

$A(X_1+X_2) = AX_1+AX_2;\\ A(\lambda \cdot X) = \lambda\cdot AX.$

那么问题来了，是不是所有线性变换都有这样美好的性质呢？可惜的是，并非如此，我们来看一个一般的例子。

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当我们对左边的图形（李老师认为是一只鸟）施加了以 $A = \begin{bmatrix} 1.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9 \end{bmatrix}$ 为矩阵的线性变换后，得到了右边的图形。尽管变换前后显然不全等了，但我们仍然能总结出一些其他的性质。首先，整体来看，这个变换 $A$ 就像捏住原图形的对角拉伸（小学时我们就知道平行四边形的这个性质）；其他性质其实都是这一“拉伸”的附属，比如平行、全等作为“关系”被保留了下来，也就是说，原图形中平行的直线，变换后仍然是彼此平行的，全等亦然。

紧接着——这其实已经退一步了——我们要问，那么是不是所有的线性变换都能维持平行和全等的关系呢？令人惋惜的是，回答依然是否定的。如果我们“找茬”，非要来看看刺头世家的零矩阵先生，会发现，怹直接把任何图形都映射成了一个点，全等、平行等性质便也无从谈起。

好吧，再退一步（这叫妥协的艺术），我们发现，最起码这个线性变换得是个可逆的。可逆的线性变换保证了：再不济，我们不会把两个点映成一个点，从而导致“维度”必然的降低。展开说，就是“可逆”的性质，可以保证两个点仍是两个点，进而两点连线仍是直线（尽管不能保证更多，比如两条直线不会变成一条）。

好了，我们已经退得够远了，来看看我们的谈判得到了什么成果。可逆的线性变换大概是能够维持平行与全等的关系的，下面来尝试证明。

首先要弥补一下上面的遗憾，前面说可逆线性变换前后“直线仍是直线”，是从“两点确定一条直线”的角度说明的，难免有一些粗糙，现在我们从点集的角度来证明。

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如图，已知两点 $P_1,P_2$ ，对应向量 $X_1,X_2$ ，设点 $P$ 对应 $X$ 位于两点连线上，故而有 $PP_1//PP_2$ ，即存在常数 $\lambda$ 使得 $PP_1 = \lambda P_1P_2$ ；由线性性质得 $P'P_1'=A(PP_1)=A(\lambda P_1P_2) = \lambda AP_1P_2 = \lambda P_1'P_2'$ ，故而原本位于直线（或直线段） $P_1P_2$ 上的点，变换后仍位于 $P_1'P_2'$ 上。实际上，我们是证明了，共线的线段变换后仍共线。

考虑到对向量来说，共线与平行其实没什么区别（大概），将上面的证明稍微改动一下，我们便可以证明变换维持了平行关系。

至于全等，这其实是个不太清晰的概念（它的判定法则有很多），我们简化一下，来证明相等的向量变换后仍相等。借用上面的图2，已知向量 $P_1P_2 = P_4P_3$ ，变换后有 $A(P_1P_2) = A(P_4P_3)$ ，也即 $P_1'P_2' = P_4'P_3'$ ，证毕。以此为基础，我们不仅可以推论可逆线性变换维持全等关系，还可以说明它维持了平行四边形的形状（毕竟平行四边形就是两对相等的向量）。

2.线性变换下直线的不变性

上面我们证明了平行的直线在变换后仍平行，但直线的位置关系并不是只有平行，更一般地，我们应该研究直线的方向。

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如图，以某点为中心，作辐射状的直线段簇，对直线段簇施加可逆线性变换 $A = \begin{bmatrix} 1.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9 \end{bmatrix}$ ，便得到了那个像眼眶一样的图像（尽管这里看起来有点恐怖，但画得细一点的话应该还蛮漂亮），观察图像，我们发现大部分直线的方向是改变了的，只有（目测）相互垂直的两条直线（四个方向）没有改变方向，而只是长度改变。

我们尝试求一下这两条直线的坐标。根据前面的分析，它们的方向没有改变，而只改变了长度，所以我们可以用 $\lambda X$ 来完全体现这一点。

[\begin{matrix} 1.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ x \\ λ y \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{bmatrix}$

化简为齐次线性方程组

{\begin{cases} (1.1 - λ) x + 0.3 y = 0 \\ 0.2 x + (0.9 - λ) y = 0 \end{cases}

$\begin{cases} (1.1-\lambda)x+0.3y = 0 \\ 0.2x+(0.9-\lambda)y = 0 \end{cases}$

想让它有非零解，我们需要它的系数行列式 $\begin{vmatrix} 1.1-\lambda&0.3 \\ 0.2 & 0.9-\lambda \end{vmatrix} = 0$ ，解得 $\lambda_1 \approx 1.265,\space\lambda_2 \approx 0.735$ ，代回原方程组得到 $y = 0.55x,\space y = -1.22x$ 。（可惜这俩并不垂直）

回到前面“飞鸟”的图形，前面我们将它理解成延对角拉伸，但这样描述其实不准确的，因为决定拉伸方向的不是“对角”，而是一个固定的角度（由矩阵确定）。基于这一事实，我们可以把原图像稍微转一转，让矩阵沿着直线拉。

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这时我们发现，这个变换没有那么多乱七八糟的性质了，只是一个“缩放”：长方形仍是长方形，方向也没有改变，只是长宽发生了变化。还有一件事值得注意，尽管没有明示，但我们一直在用水平和竖直的基（与图1左边的方格平行），而现在，对于这个变换（缩放），显然采用与现在的方格平行的基，能得到更简洁的结果，下面来尝试一下。

与前面的方法一致，既然只是缩放，而方向没有改变，我们便可以把变换后的向量设为 $(\lambda_1 x , \lambda_2 y)^T$ ，此时的线性变换便可以用对角阵来替代：

[\begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ_{1} x \\ λ_{2} y \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0& \lambda_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 x \\ \lambda_2 y \end{bmatrix},$

显然更简洁，某种程度上说，更“线性”了。

在这一节中，通过坐标，我们将几何意义的向量与数组联系起来，进而将几何的变换与矩阵联系起来。我们知道有限维线性空间的映射可以用矩阵乘法表示，进而有线性性质；后面我们将证明它的逆命题。

最后还是要感慨一下李尚志老师的教学艺术。虽然他讲的内容算是比较传统的（不过也是比较具体的），但他的教学思路非常妙。比如这一章，在第0节借由平面几何，在展示本章主要内容的同时，也使得读者们对线性变换有了一个直观的印象，避免在后面的学习中盲人摸象。