二、基础拓扑：1.可数集

重头戏要来了嗷。这章作为准备知识，没有一条贯穿的思路，所以我也是看一节写一点，最后可能会再整体讨论一下。

有限、可数与不可数

现代数学的一个标志性的观点，便是一切对象都可以视作集合。自然地，我们需要对集合进行“度量”。

回忆我们在现实世界中对长度的度量：我们有一个要测量的对象，比如一条绳子的长度；有一个测量工具，比如尺子；还需要有一个测量的方法，比如我们在小学学习的如何使用尺子（将零刻度对齐等）。我们对集合的度量基本也在做类似的事。

首先，测量对象，是任意的集合。其次，“尺子”，我们选用最基本的集合——自然数集$\mathbb{N}$。下面展开来说“测量方法”。我们将“尺子”写作下面的形式，以求更形象的表达：

$$1,2,3,\cdots,n$$

就像柔软的绳子需要捋直了才能（用直尺）测量，我们也需要把集合“捋直”，或者至少让尺子和集合能贴合，这个“贴合”的关系我们用双射 bijection来描述：如果集合$A$ 能与集合$\{1,2,3,\cdots,n\}\sub \mathbb{N}$ 建立双射关系，则称这两个集合等势 equivalent ，集合$A$ 的势或基数 cardinal number 为$n$。我们将可以如此“测量”的集合称为有限的 finite ，否则称为无限的 infinite。

接下来就有一个更深入的问题：按照前面的定义，我们的尺子是无限“长”的，那么有没有和我们尺子一样长的，甚至比尺子更长的集合呢？

我们先来回答第一个问题：是否存在集合$A$ 与集合$\mathbb{N}$ 等势？当然$\mathbb{N}$ 与自己等势，但这是等势的反身性 reflexive，在这里属于平凡的例子。按照等势的定义，我们可以在$\mathbb{N}$ 中随意增加有限个元素构造新集合，这个新集合显然与$\mathbb{N}$ 仍然可以建立双射关系（将原来的对应次序依次推后或提前）。进一步地，如果我们添加了无限多个元素呢？这时问题变为有限个无限集的并是否与$\mathbb{N}$ 等势。至少，当这里的无限集是与$\mathbb{N}$ 等势时，是成立的（后面我们将看到为什么要做这个限制）。再进一步，如果将前面的问题记为$n\cdot\mathbb{N} \sim \mathbb{N}$，那么$\mathbb{N}\cdot\mathbb{N} \sim \mathbb{N}$ 是否成立呢？这也是成立的，通过对角线法或者贪吃蛇法，我们可以建立双射。

第二个问题：是否存在无穷的集合$B$，与集合$\mathbb{N}$ 不等势？这个问题的回答也是肯定的。我们可以构造这样的集合$B$，它包含了所有由$0,1$ 组成的序列（集合$B$ 是序列的集合）。我们可以证明，任意$B\supset A\sim\mathbb{N}$，$A$ 都是$B$ 的真子集，也即从集合的角度来看，$A$ 是比$B$ “小”的集合，也即$\mathbb{N}$ 比$B$ 小。另一方面，我们可以证明，$\mathbb{N}$ 的任何无限子集，都和$\mathbb{N}$ 等势，所以可以说$\mathbb{N}$ 是最“小”的无限集合。

总览这两个问题，我们似乎不得不承认，同样是无限，有的无限比其他的无限更无限（“所有动物生而平等，但有的动物比其他动物更平等”？哈哈）。故而有必要对它们进行一个哪怕是比较粗糙的划分：我们称与$和$$\mathbb{N}$ 等势的无限集合为可数的 countable，称其他无限集合为不可数的 uncountable。