一、实数系与复数系

大概是为了简洁，Rudin给这章起名为实数系与复数系，但是，我觉得，更全面的称呼应该是：实数系、复数系与常用代数结构。

这章要解决的主要问题是：有理数系，无论是作为域，还是有序集，都不够用。

有序集 ordered set

先来看有序集，基于“比较”的需要，我们引入“序 order”的概念。如果我们给一个集合定义了一个关系“<”，满足三歧性与传递性，则称这个关系为一个“序”。随后，一个定义了序的集合称为“有序集 ordered set”。

作为例子，几乎所有常见的数系（自然数、整数、有理数、奇数、偶数、素数……）都是有序集，包括对于复数系，我们可以定义一种不怎么好用（但毕竟是可以定义）的“字典序”。反倒是反例不好找，任何与某个有序数系等势的集合，都可以借等势数集来定义一个序。

有了“比较”关系，我们就可以来定义“边界”这类概念。对于有序集 $Q$ 的子集 $A$ ，如果存在 $a\in Q$ 使得 $A$ 的任意元素都“<” $a$ ，则称 $a$ 是 $A$ 的上界 upper bound。进一步地，我们想要精进这个概念。对于 $A\sub Q$ 的上界 $a$ ，如果任意$\gamma < a$ 都使得$\gamma$ 不再是$A$上界，则称$a$ 是$A$ 的“最小上界 least upper bound” （上确界 supremum）。同样地，我们可以定义下界 lower bound，最大下界greatest lower bound（下确界 infimum）。

这就将我们带到了有理数系$\mathbb{Q}$ 的“缺陷”：作为有序集，$\mathbb{Q}$ 上的集合，不总是存在上确界。例如集合$\{x\vert x^2<2\}$，它的上确界是某个平方等于$2$ 的数，但可以证明，$\mathbb{Q}$ 中不存在这样的数。

我们将这个性质概括为“上确界性质 least upper bound priority”：有序集$R$ 具有上确界性质，当且仅当$\forall S\sub R$(S在$R$中有上确界)。

域 field

我们将基本的四则运算及其运算性质抽离出来，组成“域”的概念：若一个集合$A$ 对于加、乘封闭，且含有零元、单位元、加法逆元、乘法逆元，具有加法、乘法：结合律、交换律、分配律，则称集合$A$ 为一个域 field。

显然有理数系$\mathbb{Q}$ 是一个域（而且是最小的数域），尽管Rudin并没有明说，但其实，$\mathbb{Q}$ 作为域的不足是：对于“极限”的运算不封闭。当然在还没有定义极限运算的情况下，这么说是不严谨的，而且这里理解的域已经超出了它本身的定义，而只将它视为对某几种运算定义的封闭结构。但这并不妨碍我们通过一个例子来感受这个“缺陷”：

对于$x^2 = 2$，我们已经知道$\mathbb{Q}$ 中不存在这样的$x$，但我们可以尝试用小数形式逼近

$$1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots$$

对于这个数列，即使我们知道它趋近于某个“数”，这个“数”也不属于$\mathbb{Q}$。这个缺陷其实可以被确界性质包含。

有序域 orderd field

将上述两个概念结合起来，我们就得到了有序域 orderd field 的概念。不过，这个定义是“有序集的域”而不是“有序的域”，两者不总是等价的。对于一个有序集$Q$，如果任意$a,b,x\in Q$ 有：$(A)\space a<b \Rightarrow a+x<b+x$ ; $(M)\space a>0,b>0\Rightarrow ab>0$ ，则称$Q$ 为一个有序域。

我们可以看到，性质(A), (M) 分别是序关系与加法和乘法的交互。

实数系 real number system

看到了有理数系的缺陷，我们的目标就很明确了：构造一个能弥补这些缺陷的数系。这里有必要做一点历史的评述，相比于将平方根、立方根、代数数、$\pi$、$e$……逐个添加到新的数系中这种“打补丁”的办法，Dedekind挖掘出了有理数系更本质的“症结”（大致就是上面的两个缺点），然后对症下药，取得了一劳永逸的效果。

直接从第一个缺陷“没有确界性质”下手。既然$\mathbb{Q}$ 没有确界性质，我们干脆就将任意有理数集的上确界定义为一个“数”放到新的数系$R$ 中。注意，本质上，我们是将“数”定义成了一个有理数集，这与von Neumann 对自然数做的工作是“一脉相承”的（尽管历史上是颠倒的）。比如，对于实数$x^2 = 2$，我们将它定义为集合$\{a\in\mathbb{Q}\vert a^2<2\}$ 。

迈出了第一步之后，剩下的工作就悠闲得多了。我们可以用集合的包含关系来定义新数系的序关系，用集合的逐元素运算来定义新数系上的加法、乘法。

于是我们得到的新数系，不仅弥补了有理数系的缺陷，而且继承了有理数系的（几乎）所有优点，我们给它一个有历史局限性的名字：实数系，记为$\mathbb{R}$。

至于为什么是“几乎”所有优点，我们可以举出这样一个例子，实数系的定义涉及到无穷——用于定义任何具体实数的集合，它的势都是可数无穷大，而有理数、自然数，即使是在集合定义下，也与无穷无关——这导致我们没有准确表示实数的好办法，尤其是在计算机上，实际上，大多数时候都是用有理数来近似实数。

复数系 complex number system

对于复数，有很多种理解，对应的也有很多表达形式：

$$(a,b) = a+b\text{i} = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad a,b\in \mathbb{R}$$

当不涉及到具体的复数运算时，第一种，也即实数对的形式更简洁；当需要对复数间运算时，第二种，带复数单位$\text{i}$ 的形式更便于运算；第三种矩阵形式，大概在线性代数中比较好用（抱歉，我目前还不太了解）。

然后就是探索复数的运算律，大多是根据定义可以推出的内容。

线性空间 vector space

某种意义上，复数不过是二维实向量，而向量不过是定义了运算的数对。我们先来为向量定义较简单的运算：加法、标量乘法。

对于数域$\mathbb{F}$，我们可以定义带有加法和数乘的线性空间$V$ ：加法交换、结合、逆元、单位元，乘法单位元，分配律。（注意到，这里对乘法的要求比域弱）

线性空间及算子是线性代数的主要研究对象。

欧几里得空间 Euclidean space

我们来看带有更强的运算的线性空间——k维线性空间：定义了向量内积的k维线性空间$\mathbb{R}^k$。

内积定义为：

$$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} = \sum_{i=1}^k x_iy_i,$$

在欧几里得空间中，有一个十分基础的不等式：Schwarz不等式

$$(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y})^2 \leq \mathbf {x}^2\cdot \mathbf {y}^2 ,$$

或者展开写成连加式

$$\left\vert \sum_{i=1}^k x_iy_i \right\vert ^2 \leq \sum_{i=1}^k \vert a_i\vert^2 \sum_{i=1}^k \vert b_i\vert^2.$$

小结

这样，我们就完成了数学分析的代数基础：实数系及其最根本的性质，复数系，几种代数结构。

对传统的课本来说，这些基础就够了，但Rudin 这本书还有一章拓扑基础，虽然客观上增加了难度，但在后面处理问题的时候，也拥有了更高的观点，很多传统课本闪烁其辞的地方，也得到了更清晰的解释。