上下极限与上下积分的奇妙联系

前两天复习部分极限的时候，突然意识到上下极限和上下积分简直有异曲同工之妙，今天有时间将它们放到一起来看一下。

序列极限

实数序列 $\{a_n\}$ ：

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots

$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$

称为当 $n\rightarrow \infty$ 时趋于极限 $\alpha \in \R$ ，若

\begin{matrix} (1.1) & \forall ε > 0 \exists N \in N \forall n \geq N (a_{n} \in (α - ε, α + ε)) . \end{matrix}

$\forall\varepsilon>0\exists N\in\N\forall n\geq N(a_n\in(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)).\tag{1.1}$

序列 $\{a_n\}$ 的上极限定义为

\begin{matrix} (1.2) & lim_{n \to \infty} sup a_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{¯} a_{n} = lim_{n \to \infty} (sup_{k \geq n} a_{k}) . \end{matrix}

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \overline\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\sup_{k\geq n}a_k\right).\tag{1.2}$

下极限同理。

序列 $\{a_n\}$ 有极限的充分必要条件是，它的上极限和下极限相等。这时，我们有

\begin{matrix} (1.3) & lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} sup a_{n} = lim_{n \to \infty} inf a_{n} . \end{matrix}

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n.\tag{1.3}$

Riemann积分

设 $f:[a,b]\rightarrow\R$ 是有界闭区间上的实值函数。闭区间 $[a,b]$ 上的 $n+1$ 个点

C : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b

$\cal{C}:a = x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$

称为区间 $[a,b]$ 的一个分划。闭区间 $[a,b]$ 因此被分划成 $n$ 个小区间

[a, b] = ⋃_{k = 1}^{n} [x_{i - 1}, x_{i}],

$[a,b]= \bigcup_{k=1}^n[x_{i-1},x_i],$

其中两个不同的小区间之交或为空集，或为单点集（总之是长度为零的集合）。在每个小区间上任选一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ ，并构造函数 $f$ 相对于分划 $\cal{C}$ 和选点组 $\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}$ 的Riemann 和：

\begin{matrix} (2.1) & R (f; C; ξ) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) d x (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

$\cal{R}(f;\cal{C};\xi)=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)dx(x_i-x_{i-1}).\tag{2.1}$

假若当小区间 $[x_{i-1},x_i]\space(1\leq i\leq n)$ 的长度的最大者趋于零时，不论满足条件 $\xi_i \in[x_{i-1},x_i]$ 的选点组 $\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}$ 如何选取，Riemann 和(2.1) 收敛于某个实数 $I\in \R$ ，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上Riemann 可积， $I$ 称为 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的Riemann 积分，记作

I = \int_{a}^{b} f (x) d x .

$I = \int_a^bf(x)dx.$

用 $m_i$ 与 $M_i$ 分别表示函数 $f(x)$ 在第 $i$ 个部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上的下确界与上确界，并作和

\begin{matrix} (2.2) & s = \sum_{i = 0}^{n - 1} m_{i} Δ x_{i}, S = \sum_{i = 0}^{n - 1} M_{i} Δ x_{i} . \end{matrix}

$s = \sum _{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i,\quad S = \sum_{i=0}^{n-1} M_i\Delta x_i.\tag{2.2}$

这些和分别叫做下积分和与上积分和，或者Darboux和。

\begin{matrix} (2.3) & I_{*} = sup {s}, I^{*} = inf {S}, s \leq I_{*} \leq I^{*} \leq S, \end{matrix}

$I_* = \sup\{s\},\quad I^* = \inf\{S\},\tag{2.3}\\ s \leq I_* \leq I^* \leq S,$

数 $I_*$ 与数 $I^*$ 分别叫做 Darboux下积分 与 Darboux上积分。

定积分存在的充要条件是

\begin{matrix} (2.4) & lim_{λ \to 0} (S - s) = 0, 也 即 I_{*} = I^{*} . \end{matrix}

$\lim_{\lambda \rightarrow 0} (S-s) = 0,\\ 也即 I_* = I^*.\tag{2.4}$

这里也提一下，以上是菲赫金哥尔茨对上下积分的定义，而陈天权对于上积分的定义是用大于被积函数 $f(x)$ 的“阶梯函数” $g(x)$ （形似取整函数）的积分（这类函数的积分不需要如(2.1)那样严格的定义）的下确界来定义的。个人认为这样其实更清晰，同时也回避了那个说不清道不明的“分划的模”的问题。