Heine-Borel 有限覆盖定理及其他情况

设$I$ 是个（闭的，开的或半开半闭的）区间，$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$ 是一族（闭的，开的或半开半闭的）区间，其中$J$ 是（可能有限也可能无限的）指标集。若

$$I \sub \bigcup_{\alpha\in J} I_\alpha,\tag{1}$$

我们称区间$I$ 被区间族$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$ 所覆盖。

以下假设$I=[a,b]$ 是个（有界）闭区间，$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$ 是一族开区间，且闭区间$I=[a,b]$ 被区间族$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$ 所覆盖。记

$$K = \{x\in[a,b]:[a,x]可被开区间族\{I_\alpha : \alpha\in J\}中某有限子族所覆盖 \}. \tag{2}$$

试证：

(i) $K \neq \empty$；

因为(1)，所以一定存在区间$I_1 =(p,q)\ni a ,\space p<a,q>a$ ，令$x' = {(a+q)}/{2}$ 则一定有$[a,x']\sub I_1$ 可被开区间族$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$中某有限子族所覆盖。

(ii) $K$ 有上界，因而有上确界。记$M = \sup K$；

因为(2)中对$K$ 的定义要求$x\in[a,b]$，所以$\forall x \in K(x\leq b)$，所以$K$ 有上界$b$，因而有上确界。

(iii) $M\in[a,b]$；

作为上确界，$M$ 显然不会比$a$ 小。若$M>b$，则设$M'=(b+M)/2$，$M'>b$ 所以是上界，而又比上确界$M$ 小，矛盾。

(iv) $\forall \varepsilon >0(M-\varepsilon\in K)$；

上确界的$\varepsilon$ 定义。

(v) $M \in K$；

因为$M\in[a,b]$，且闭区间$I=[a,b]$ 被区间族$\{I_\alpha : \alpha\in J\}$ 所覆盖，若$M\notin K$，设$M \in I_2$，则$K \cup \{M\}$ 可由 原区间族$\cup I_2$ 覆盖，根据$K$ 的定义推出$M\in K$，矛盾。

(vi) $M = b$；

采用与(v) 类似的方法，若$M<b$，则将$M$ 所在最大区间$I_\beta$ 并入有限区间族，直至$M = b$。设$\min\lvert I_\alpha\rvert = \xi$，则至多$(b-M)/\xi$ 后结束此过程，也即，区间族内仍只有有限个区间。

(vii) $b \in K$，换言之，闭区间$[a,b]$ 可被开区间族$\{I_\alpha:\alpha \in J\}$ 中某有限子族所覆盖；

$b = M \in K$

(viii) 试用(vii) 的结论证明 Archimedes 原理；

(ix) 试用(vii) 的结论证明 Contor 的区间套定理。

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看到这个定理限于“开区间组覆盖闭区间”，自然会想：其他的组合可不可以呢？除了改前提一个一个地尝试，我们还可以从证明出发，看看证明过程中那些地方用到了区间的性质，是不是可以替代的：（我认为虽然这本身不是十分严密的，但可以作为构造反例的思路）

第(vi) 步要求覆盖区间的最小长度，闭区间的长度可以是无穷小（就像闭区间套引理中那样）；（比如有像定积分中那样的“分划”就是一个反例）

被覆盖区间可以是开区间，可以视为定理中闭区间的子集：$(a,b)\sub[a,b]$ 。