确界：最小自然数原理与Dedekind定理

这两天看了一点初等数论，竟颇有一点“他乡遇故知”的感觉，比如本文要谈的最小自然数原理，在用它证明一些命题的时候，突然想到在实数里也用过类似的方法。这里专门来探究一下二者的联系，探讨“确界”概念的重要意义。

定理1（最小自然数原理） 设 $T$ 是 $\N$ （此处指正整数）的非空子集。那么，必有 $t_0\in T$ ，使得任意的 $t\in T$ 有 $t_0\leq t$ ，即 $t_0$ 是 $T$ 中的最小自然数。

定理2（最大自然数原理） 设 $M$ 是 $\N$ 的非空子集。若 $M$ 有上界，则必有 $m_0\in M$ ，使得任意的 $m\in M$ 有 $m_0\geq m$ ，即 $m_0$ 是 $M$ 中的最大自然数。

定理3（Dedekind定理） 对于实数域内的任一分划 $(A,A')$ 必有产生这分划的实数 $\beta$ 存在。这个数 $\beta$ ，或是 $A$ 内的最大数，或是 $A'$ 内的最小数。

首先，两者( $1\Leftrightarrow2$ ) 的地位都是相同的，在更严谨的公理出现前，都作为各自数集中的“公理”存在。

其次，二者都在说“确界” 的问题，只不过自然数的确界不涉及无穷，不像实数那样令人费解。至于为什么 $\N,\R$ 的最基本性质都是“确界”，虽然我也说不清楚，但我们可以来看几个以此为基础的证明。

例1 若 $a$ 是合数，则必有不可约数 $p\mid a$ 。

证明由定义知 $a$ 必有除数 $d\geq2$ 。设集合 $T$ 由 $a$ 的所有除数 $d\geq2$ 组成。由最小自然数原理知集合 $T$ 中必有最小的自然数，设为 $p$ 。 $p$ 一定是不可约数。若 $p\geq2$ 是合数，则存在 $d'\mid p$ 满足 $2\leq d'\leq p$ ，故 $d'\in T$ ，与 $p$ 的最小性矛盾。

例2 任何单调有界序列都有极限

证明不妨设序列 $\{a_n\}$ 是单调递增序列，且有上界 $M$ 。将实数划分为两个集合 $A,B$ ：大于所有 $a_n$ 的实数都放入 $B$ ，其余放入 $A$ 。显然我们得到了 $\R$ 的一个分划 $(A,B)$ ，设这个分划的界限是 $\alpha$ ，下面证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha$ 。

若不是序列的极限，则存在 $\varepsilon>0,k$ 使得 $\alpha-a_n>\varepsilon$ 即

a_{n} < α - ε,

$a_n<\alpha -\varepsilon,$

对任意的 $n>k$ 都成立。又因为 ${a_n}$ 是单调递增序列，所以(1)式对所有的 ${a_n}$ 成立。于是 $\alpha -\varepsilon<\alpha$ 也是 ${a_n}$ 的上界，应该在 $B$ 中，与 $\alpha$ 最小值的地位矛盾，故假设不成立。

稍微总结一下，我们或许可以说，整数中的确界有时作为最小质因数（或最大因数）出现，实数中的确界往往作为极限出现。

最后，如果更一般地看， $\Z$ 与 $\N$ 相差无几，也可以有“最小整数原理”；但 $\Q$ 便没有类似的确界定理，而这既是构造 $\R$ 的动机，也是构造 $\R$ 的思路。

经过与田孟森学长“旷日持久”的讨论，我还得到了进一步的认识。

考虑确界的定义，我们发现在实数中有一个“任意小”的动态过程，而自然数中是“有限小”（即 $1$ ）是个静态的过程。这也刻画了两个数系的特点。

至于“确界”的重要意义，我认为可以这样说：

对于一个一般的数集，我们总需要对它的性质有一个了解，其中一个重要且直观的性质就是“范围”。“界”描述“范围”，而“确界”描述“最精确”（在实数中这里便出现了无穷）的“范围”。无论是自然数集还是实数集，我们对一个数集的性质了解的越细致，我们能做的事情就越多。对于一个数系，如果整个数系都有确界的性质，我们处理它的任何子集自然是多了一个很有力的工具（这里体现为前文的两个例子）。